初中数学竞赛标准教程及练习28：三角形的边角性质.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习(28)
三角形的边角性质
一、内容提要
三角形边角性质主要的有：
1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：
a,b,c是△ABC的边长
推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和
2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180， 五边形内角和=3×180
六边形内角和=4×180 n边形内角和=(n－2) 180
3. 边与角的关系
① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，
△ABC中∠C=Rt∠(勾股定理及逆定理)
△ABC中a：b：c=1：：2
△ABC中 a：b：c=1：1：
二、例题
例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。

解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组
解得 ∴1.5<a<5
答当1.5<a<5时，三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形

例2.如图
A B C D
AB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？
① x<,　　②y<x+,　　③y<
解由已知AB=x, BC=y－x, CD=z－x要使AB，BC，CD组成三角形，必须满足下列不等式组：
即∴
答y<x+和y<必须满足。
例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5,　b≤a≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。
解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c<a+b, ∴5≤c ≤9
∴符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c排列)
它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；
555，556，557，558，559。
例4. 　　　　 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和
解：四边形EFMN 的内角和=360度
∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D
∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度
　　　　　　　∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度

例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围

解：根据题意，得
得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B)
∴(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B)　　∴　40≤∠B≤75
例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2
　求各内角的度数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：作∠BCD的平分线交AD于E，　　　　　　
△BCE≌△DCE（SAS）　∴∠D＝∠CBE　　　　　　　　　　　　　　　
△BCE≌△BAE（SSS）　∴∠CBE＝∠ABE＝∠D　　　
设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360
∴X＝40（度）　答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40　
三、练习28
1. △ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是＿＿
2. a,b,c是△ABC的三边长，化简得＿＿
3. 已知△ABC的两边长a和b（a<b）,则这个三角形的周长L的取值范
是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（按由小到大的顺序排列，可用省略号）
5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的
① 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
② 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿
7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿＿
8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角
9.△ABC中，a>b>c,那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿

10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120，则∠A＝＿＿
11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，CE＝BD，BF＝DC，则∠EDF＝＿＿
12.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度

13.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度
14.如图△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，则∠A＝＿＿

15.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿度
（这里∠AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角）
16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，则∠BAC＝＿＿＿度
17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60∠B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,则边AC的长是＿＿cm

　　C　　　　　B　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　E　　　　B　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　
　D　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
18.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中点，则的值是（　　）
（A） 大于（B）大于（C）大于（D）大于
19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大　边与最小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。　　
20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△AEF为等边三角形，求∠C的度数。　

练习28参考答案：
1.　2＜c<12, hc≤5　　 2.　2c　　 3. 2b<L<2a+2b 4. 31个　　　
5. ①3个　②15个　 6.　＜x< 　 7. 1<AD<13
8. 2个　　　9.　0＜∠C＜60　　　10.　　60　　　11.　70
12.　360　　13.　540　　　14.　10　　　15.　540　　　16.　108
17　　6　　　18.　（B）　　　19.　3个　　20.　100