2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.doc

2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
正视图
（第2题图）
俯视图
侧视图
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等差数列{}的前3项分别为2、4、6，则数列{}的第4项为
A．7 B．8
C．10 D．12
2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为
A．球 B．圆柱
C．圆台 D．圆锥
3．函数的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知集合，，若，则的值为 　
A．3 B．2 C．0 D．-1
5．已知直线：，：，则直线与的位置关系是
A．重合 B．垂直
C．相交但不垂直 D．平行
6．下列坐标对应的点中，落在不等式表示的平面区域内的是
A．（0，0） B．（2，4） C．（-1，4） D．（1，8）
7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为
A．14 B．23 C．33 D．43
（第8题图）
C
A
B
D
8．如图，D为等腰三角形ABC底边AB的中点，则下列等式恒成立的是
A． B．
C． D．
9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为
A． B．
C． D．
（第10题图）
10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．
11．比较大小： （填“＞”或“＜”）．
12．已知圆的圆心坐标为，则实数 ．
开始
输入a,b,c
输出
结束
（第13题图）

13．某程序框图如图所示，若输入的值分别为3，4，5，则输出的值为 ．
14．已知角的终边与单位圆的交点坐标为（），则= ．
15．如图，A，B两点在河的两岸，为了测量A、B之间的距离，测量者在A的同侧选定一点C，测出A、C之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A、B两点之间的距离为 米．
（第15题图）
B
A
C
105º
45º
河

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分6分）
-2
-1
O
2
5
6

2
-1
1

（第16题图）
已知函数（）的图象如图．根据图象写出：
（1）函数的最大值；
（2）使的值．

17．（本小题满分8分）
一批食品，每袋的标准重量是50，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：），并得到其茎叶图（如图）．
（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；
4 5 6 6 9
5 0 0 0 1 1 2

（第17题图）
（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．

18．（本小题满分8分）
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=．
（第18题图）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：AC⊥平面BB1D1D．

19．（本小题满分8分）
已知向量a =（，1），b =（，1），R．
（1）当时，求向量a + b的坐标；
（2）若函数|a + b|2为奇函数，求实数的值．

20．（本小题满分10分）
已知数列{}的前项和为(为常数，N*)．
（1）求，，；
（2）若数列{}为等比数列，求常数的值及；
（3）对于（2）中的，记，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题4分，满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
D
A
C
B
A
C
二、填空题（每小题4分，满分20分）
11．＞； 12． 3； 13．4； 14． ； 15． ．
三、解答题（满分40分）
16．解：（1）由图象可知，函数的最大值为2； …………………3分
（2）由图象可知，使的值为-1或5． ……………6分
17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（），　　　　 ………………2分
因为这10袋食品重量的平均数为（），
所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（）； ……………4分
（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为，故可以估计这批食品重量的合格率为． 8分
18．（1）解：因为D1D⊥面ABCD，所以BD为直线B D1在平面ABCD内的射影，
所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角， …………………2分
又因为AB=1，所以BD=，在Rt△D1DB中，，
所以∠D1BD=45º，所以直线D1B与平面ABCD所成的角为45º； 4分
（2）证明：因为D1D⊥面ABCD，AC在平面ABCD内，所以D1D⊥AC，
又底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD， …………………6分
因为BD与D1D是平面BB1D1D内的两条相交直线，
所以AC⊥平面BB1D1D． …………………………8分
19．解：（1）因为a =（，1），b =（，1），，
所以a + b； …………………4分
（2）因为a + b，
所以， ……………6分
因为为奇函数，所以，
即，解得． ……………8分
注：由为奇函数，得，解得同样给分．
20．解：（1）， ……………………1分
由，得， ……………………2分
由，得； …………………3分
（2）因为，当时，，
又{}为等比数列，所以，即，得， …………5分
故； …………………………………6分
（3）因为，所以， ………………7分
令，则，，
设，
当时，恒成立， …………………8分
当时，对应的点在开口向上的抛物线上，所以不可能恒成立， 　 ……………9分
当时，在时有最大值，所以要使 对任意的正整数恒成立，只需，即，此时，
综上实数的取值范围为．　 …………………………10分
说明：解答题如有其它解法，酌情给分．

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