资源描述
1．已知：如图，在△中，、是高，是的中点，，点是垂足．求证：点是的中点．
2．如图，在△中，点为坐标原点，点坐标为（4，0），点坐标为（2，2），，点为垂足，，点为垂足．动点、分别从点、同时出发，点沿线段向点运动，点沿线段向点运动，速度都是每秒1个单位长度．设点的运动时间为秒．
（1）求证：；
（2）若△的面积为，求与之间的函数关系式及定义域；
（3）当（垂足为点）时，求五边形的面积的值.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。
4. 如图，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC中点。
（1） 写出点O到△ABC三个顶点的距离之间的关系；
（2） 如果点M、N分别在边AB、AC上移动，且保持AN=BM。请判断△OMN的形状，并证明你的结论。
5．如图，点A的坐标为（3,0），点C的坐标为（0,4），OABC为矩形，反比例函数的图像过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12,CF=13.
_
_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
_
y
_
x
_
O
（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；
（2）求四边形OAFC的面积．
6．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线 轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
7．已知：如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD=DB；
（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长.
压轴题答案
1．证明： 联结、．……………………………1分
∵是高， ∴，
∴．………………………1分
又∵是的中点，
∴(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ．……2分
同理可得：．……………………………………………1分
∴．…………………………………………………………1分
又∵，…………………………………………………………1分
∴．…………………………………………………………1分
即：点是的中点．
2．解：（1）∵………………………………………………1分
………………………………………1分
∴ ………………………………………………………………1分
（2）易证：△为等边三角形．
∵，
∴．………………1分
∴．
过点作垂足为点．
在△中，,，
∴，由勾股定理得：．…………………………1分
又∵，………………………………………………1分
∴．………………………1分
即：（）．……………………………………1分
【说明】最后1分为定义域分数．
（3）易证Rt△≌Rt△≌Rt△，
∴．1分
易证△为等边三角形，
∴，
即：，解得 ．……………………………………………1分
∴．…………………………………………………1分
∴．……………1分
3. 解：PD+PE=CM，
证明：连接AP，
∵AB=AC， ∴S △ABC=S △ABP+S △ACP=AB ×PD+AC ×PE=×AB ×（PD+PE ），
∵S △ABC=AB ×CM， ∴PD+PE=CM。
4. 解： 1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；
2）△OMN是等腰直角三角形。
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，
AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，
∴△NAO≌ △MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
5.解：（1）依题意，得点B的坐标为（3,4），点D的坐标为（3,2）………1分
将（3,2）代入，得k=6.
所以反比例函数的解析式为. ………………………………1分
设点E的坐标为（m，4），将其代入，得m=,
故点E的坐标为（，4）. ……………………………………1分
设直线OE的解析式为，将（，4）代入得
所以直线OE的解析式为. ……………………………………1分
（2）联结AC，由勾股定理得.…………1分
又∵ ，………………………… ………1分
∴ 由勾股定理的逆定理得∠CAF=90°. …………………………………1分
∴.……
6. 解：（1）将分别代入中，得
∴
∴反比例函数的表达式为：, 正比例函数的表达式为
（2）第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值 ．
（3）
理由：∵
∴即
∵∴
即∴∴∴
7. 解：（1）在⊿ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵ AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°. …………………1分
∴∠DAB=∠B，AD=DB. …………………………………1分
（2）在⊿AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，∴∠AEF=30°.
∴.…………………1分
在Rt⊿ABC中，∵∠B=30°，AC=6，∴AB=12.
∴.…………………………1分
∴ …………………………………1分
（3）当∠DEF=90°时，∠CED=180°－∠AEF－∠FED=60°.
∴∠EDC=30°，ED=2x. ………………………………1分
又∵∠EDA=∠EAD=30°，∴ED=AE=6－x.
∴有 2x=6－x，得x=2. ………………………………1分
此时，.
即BF的长为10. ………………………………1分
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