清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案.doc

第二学期高等数学期末考试试卷答案
清华大学第二学期期末考试模拟试卷
一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．
1. 设向量的终点坐标为，它在轴、轴、轴上的投影依次为、和，则该向量的起点的坐标为___________________________．
2. 设、、都是单位向量，且满足，则
_____________________________．
3. 设，则_____________________________．
4. 设，则___________________．
5. 某工厂的生产函数是，已知⑴. 当时，；（2）当时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为，。如果工厂计划扩大投入到，则产量的近似增量为_______________
6. 交换积分顺序，有_____________________________．
7. 设级数收敛，且，则级数__________．
8. 级数在满足_____________条件下收敛．
9. 微分方程的通解为______________________．
10. 对于微分方程，利用待定系数法求其特解时，应设其特解______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）．
答案：
1. ；
2. ；
3. ；
4. ；
5. 单位；
6. ；
7. ；
8. ；
9. ；
10. ．
二．（本题满分8分）
求过点，且与两平面和平行的直线方程．
解：
所求直线过点，设其方向向量为，
由于平行于平面和，所以其方向向量同时垂直于向量与．
因此，方向向量可取为 ，
．
从而所求直线方程为
．
三．（本题满分8分）
设函数，其中是常数，函数具有连续的一阶偏导数．试求．
解：

所以，

四．（本题满分8分）
计算二重积分的值．
解：
作极坐标变换：，则有

．
五．（本题满分8分）
某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为
（万元）
若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？
解：
即求成本函数在条件下的最小值
构造辅助函数
解方程组
解得
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成本最小，最小成本为：
（万）
六．（本题满分10分）
⑴. 将展开为的幂级数；
⑵. 指出该幂级数的收敛域；
⑶. 求级数的和．
解：
⑴. 因为 ，且，所以，

而

所以，

⑵. 幂级数的收敛域为．
⑶. 令，则有

．
七．（本题满分10分）
求微分方程的通解．
解：
该方程为一阶线性微分方程

因此，
， ．
代入一阶线性微分方程的求解公式，有

所以，原方程的通解为

八．（本题满分10分）
讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性．
解：
⑴. 因为级数为交错级数，．由于，

所以数列单调减少而且．
因此由Leibniz判别法知，级数收敛．
⑵. 讨论级数．其前项部分和为

所以，级数发散．
综上所述知，级数条件收敛．
九．（本题满分8分）
设函数具有二阶连续的导函数，而且满足方程
，
试求函数．
解：
设，则有
，
所以，

代入方程 ，
得，
即，
由此得微分方程
解此二阶线性微分方程，得其通解为
（与为任意常数）
此即为所求函数．

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