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空间向量在立体几何中的应用
【考纲说明】
1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；
2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；
3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；
【知识梳理】
一、 空间向量的运算
1、 向量的几何运算
（1）向量的数量积：
已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即
空间向量数量积的性质：① ；
　 　　　 ② ；
　 　　 　③ ．
（2）向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
2、向量的坐标运算
（1）若，，则．
　 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若 ， ，则 　　　
，， 　　 　
， 　　　
；
，．

（3） 夹角公式：

（4）两点间的距离公式：若 ， ，则　

二、空间向量在立体几何中的应用
2. 利用空间向量证明平行问题
　对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
3. 利用空间向量证明垂直问题
　对于垂直问题，一般是利用进行证明；
4. 利用空间向量求角度
（1）线线角的求法：
设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为 （线线角的范围[00,900]）

（2）线面角的求法：
设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为

（3）二面角的求法：
设n1，n2分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则 就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）

5. 利用空间向量求距离
（1）平面的法向量的求法：
设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

（2）利用法向量求空间距离
（a） 点A到平面的距离： ，其中，是平面的法向量。

（b） 直线与平面之间的距离： ，其中，是平面的法向量。

（c） 两平行平面之间的距离： ，其中， 是平面的法向量。

【经典例题】
【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】D
A
B
C
S
E
F
【例2】（2010全国卷2文）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）
（A） (B) (C) (D)
【解析】D
【例3】（2012全国卷）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为____________。

【解析】

【例4】（2012重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。

（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；
（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—B1的平面角的余弦值。

【解析】

E
【例5】F

（2012江苏）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点．

求证：（1）平面平面；
A
C
（2）直线平面ADE．

B
D

【例6】（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值．
错误！未指定书签。
【解析】二面角F-BD-C的余弦值为．

【例7】（2012江西）在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点。
（1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值。
【解析】，

【例8】（2012湖南）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】

【例9】（2012广东）如图所示，在四棱锥中，平面，，是中点，是上的点，且，为中边上的高。
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面．

【解析】三棱锥的体积
【例10】（2012新课标）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小．

【解析】二面角的大小为

【例11】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面点在线段上，平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的正切值．

【解析】二面角的平面角的正切值为3

【例12】（2012天津）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，，，.
(Ⅰ)证明丄；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为，求AE的长.

【解析】，

【课堂练习】
1、（2012上海）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （用反三角函数值表示）
2、（2012四川）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。

3、（2012全国卷）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。

4、（2010辽宁理）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

5、（2010辽宁文）如图，棱柱的侧面是菱形，
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值.

6、（2010全国文）如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小

7、（2010江西理）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。
（1） 求点A到平面MBC的距离；
（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

8、（2010重庆文）四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.

9、（2010浙江文）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。

C
B
A
D
E
P
10、（2010重庆理）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

11、（2010北京理）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

12、如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=
（1）证明：EBFD
（2）求点B到平面FED的距离.

13、（2010江苏卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(1) 求证：PC⊥BC；
(2) 求点A到平面PBC的距离。

14、（2012上海）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.

15、（2012四川）如图，在三棱锥中，，，，平面平面。
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。

16、（2012安徽）长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）如果=2，=，,求 的长。

17、（2012北京文）如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由。

18、（2012湖南）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.

19、如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：
（1）三棱锥的体积
（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）

20、（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

【课后作业】
1. （2008全国Ⅱ）如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

2、（2008湖南）四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

3、（2008福建）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，
其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
4、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。
（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

A
B
C
D
O
O1
A
B
O
C
O1
D
5、（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。

6、（2007安徽文、理)如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。
(Ⅰ)求证:与AC共面，与BD共面.
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求二面角的大小.

7、(2007海南)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

8、(2007四川理）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面; （Ⅱ）求二面角的大小;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

9、(2006全国Ⅰ卷)如图，、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在上，C在上，。 （Ⅰ）证明AC⊥NB；
A
B
M
N
C
l2
l1
H
(Ⅱ)若，求与平面ABC所成角的余弦值。

10、（2006福建文、理）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。

11、 （2010福建文）如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。
（I）证明：AD//平面EFGH；
（II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

12、如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

13、在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求点到平面的距离.

14、如图4，在正三棱柱中，。D是的中点，点E在上，且。
（1）证明平面平面
（2）求直线和平面所成角的正弦值。

【参考答案】
【课堂练习】

1、 2、 3、30º 4、SN与面CMN所成角为45° 5、A1D：DC1=1. 6、略
7、，. 8、略 9、略 10、 11、二面角的大小为. 12、
13、点A到平面PBC的距离等于。 14、异面直线BC与AE所成的角的大小是
15、直线二面角的大小为与平面所成的角的大小为
16、
17、略
18、四棱锥的体积为.
19、略
20、（1）与所成角的大小为
（2） 点B到平面OCD的距离为

【课后作业】
1、 二面角的大小为．
2、平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
3、（Ⅱ）异面直线PB与CD所成的角是arccos，(Ⅲ)存在点Q满足题意，此时.
4、（1）与所成的角为．（2）与平面所成的角为．
5、cos，>=

6、
7、（Ⅱ）二面角的余弦值为．
8、（Ⅱ）二面角的平面角大小为
（Ⅲ）
9、cos∠NBH=
10、（Ⅱ）异面直线AB与CD所成角的大小
（Ⅲ）点E到平面ACD的距离为.

11、略 12、AE与平面PDB所成的角的大小为.
13、所求角的大小为，所求距离为。
14、线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

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