一元二次方程解法教案及练习(含答案).doc

4.1一元二次方程
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知识要点：
1、一元二次方程的概念和一般形式.
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式.
任何一个关于的一元二次方程都可以化成（、、是常数，这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中、、分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项，、分别叫做二次项系数、一次项系数。
学习要点：
1、了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。
2、正确理解和掌握一般形式中的a≠0 ，“项”和“系数”。
基础巩固题
1、将方程化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .
2、已知关于的一元二次方程，则应满足 .；
3、一元二次方程:2x2+(k+8)x-(2k-3)=0的各项系数之和为5,则k = . .
4、下列方程中，是一元二次方程的是---------------------------------------------------------------（ ）
A B
C D
5一元二次方程（3x-1）（2x+2）=+1化为一般形式（a≠0）后，a、b、c的值分别为 （ ）
A．6，4，3 B．6，-4，-3 C．5，4，-3 D．5，-4，3
6．已知2是关于x的方程的一个解，则2a-1的值是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
8、如果关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0有一个解是0，求m的值。

9、如果方程ax2+bx-6=0与方程ax2+2bx-15=0有一个公共解是3，求a、b的值。

10、方程；（1）取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）取何值时是一元一次方程；

思维拓展题
11、当 时，方程不是一元二次方程。
12、用换元法解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6时，如果设x2＋x＝y，那么原方程可变形为（ ）
A、y2＋y－6＝0 B、y2－y－6＝0
C、y2－y＋6＝0 D、y2＋y＋6＝0
13、方程:(m-5)(m-3)xm-2+(m-3)x+5=0
(1).m为何值时,此方程为一元二次方程?

(2).m为何值时,此方程为一元一次方程?

14、如果-1=0，那么代数式-7的值是多少。

中考题型：
15．仔细观察下列计算过程： 同样
由此猜想 。

16、（2007湖北武汉）如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）。
A、2 B、－2 C、4 D、－4
17、（2007四川成都）已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式的值为＿＿＿＿

答 案
1、3、-8、-10
2、
3、
4、c
5、
6、
7、
8、将代入方程，求出，然后考虑二次项系数不为0。所以-2。
9、提示：将代入方程列出关于、的方程组，-，。
10、时是一元二次方程，-1取何值时是一元一次方程。
11、
12、A
13、，
14、-6
15、111111111
16、C
17、
4.2一元二次方程解法（1）
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知识要点：

学习要点：
会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
基础巩固题
1、方程的根是 ；方程x2－196＝0的解为＿＿＿。
2、方程的解为＿＿＿__；
3、方程的解为＿＿＿。
4、要到玻璃店配一块面积为1.21m2的正方形玻璃，那么该玻璃边长为______。
5、若方程有整数根，则的值可以是_________（只填一个）。
6、已知的值是10，则代数式的值是 。
7、解方程：3x2+27=0，得------------------------------------------（ ）
A.x=±3  B.x=-3   C.方程无实数根   D.方程有无数个实数根
8、方程(x-1)2=4的根是--------------------------------------------（ ）
A.3,-3  B.3,-1  C.5,-5   D.5,-3
9、关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B． C． D．无解
10、已知ｍ是方程－ｘ－１＝０的一个根，则代数的值等于-----( )
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
11、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A、 B、 C、或 D、
12、解下列方程：

（4）

（5）(2x－1)2＝(3－x)2

13、一个长方形操场的面积是7200，它的长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽。

思维拓展题
14、已知关于的方程（2k+1）x2－4kx+（k－1）=0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根；
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程，且不含有一次项？求出这个一元二次方程的根

15、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求的值．

自主探究题
16、、若a-b+c=0,a≠0, 则方程ax2+bx+c=0必有一个根是_______
17、已知α，β是方程的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________。
走进中考
18、（2007重庆）方程的解为 。
19、（2007湖南株州）已知x＝1是一元二次方程的一个解，且，求的值.

答案：
1、，
2、或2
3、
4、
5、答案不唯一
6、19
7、C
8、B
9、C
10、C
11、B
12、（1）（2）（3）-1，--1 （4），-1 （5），-2
13、解设宽为，长为2

（负的舍去）
宽为，长为
14、（1）-， （2），
15、
-1
16、-1
17、10
18、，
19、解：把x＝1代入方程，得：＋＝40，又
所以，＝＝＝20。
4.2一元二次方程解法（2）
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知识要点：
1、二次项系数是1的一元二次方程的配方.
2、用配方法解一元二次方程的一般步骤:就是把一个一元二次方程变形为型的方程，就可以用直接开平方法求解。
学习要点：
会用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。
基础巩固题：
1．x2＋5x＋ =（ ）2
2．x2－x+ =（ ）2
3．x2－＋ =（ ）2
4．x2＋＋ =（ ）2
5．x2－px+ =( )2
6、 。
7、已知：x2 ＋y2－4x＋6y＋13=0，且x、y为实数，则xy=
8、已知关于x的方程4x2＋4kx＋k2=0的一个根是－2，则k=
9、已知二次三项式x2+2mx+4是一个完全平方式，则m= 。
10、将方程x2－5x－3=0化成(x+m)2=n的形式，正确的是 （ ）
A. (x－5)2=3 B. (x－)2=
C. (x－)2=3 D. (x－)2=28
11、方程x2+3=4x用配方法解时，应先化成（ ）
A、(x-2)2=7； B、(x+2)2=1； C、(x-2)2=1； D、(x+2)2=2；
12、用配方法解下列方程：
　（１）　　　 （２）；

（3）x2+10x+10=0 （4）x2+2x-3=0

(5).x2+4x-12=0 (6). y2+2y-4=0
13、用配方法解关于x的方程：x2－2mx=n2－m2

14、用配方法证明m2－8m+20大于0

思维拓展题
15、如果是一个完全平方式，则_____　　_。
自主探究题
16、说明：不论取何值，代数式的值总大于0。再求出当取何值时，代数式的值最小？最小是多少？

走进中考
17、（2007四川内江）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
18、（2007北京）解方程：．

答案：
1、， +
2、， -
3、， -
4、， +
5、， -
6、， -
7、-6
8、4
9、
10、B
11、C
12、略
13、+，-
14、m2－8m+20=（m-4）2+4
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+4>0
15、2
16、=（x-）2+
∵（x-）2≥0
∴（x-）2+≥
当=时，代数式的值最小,最小是.
17、A
18、解：配方，得：（x＋2）2＝5，解得：x1＝－2＋，x2＝－2－
4.2一元二次方程解法（3）
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知识要点：
二次项系数不是1的一元二次方程的配方.
学习要点：
会用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。
基础巩固题：
1、
2、
3、- =（ ）2
4、下列用配方法解方程时，有错误的是 （ ）

5、用配方法解下列方程时，配方错误的是---------------------------------------------------------（ ）
A 化为 B 化为
C 化为 D 化为
6、用配方法解方程:
(1).2x2-5x+2=0 (2).-3x2+4x+1=0

(3). (4).

7、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h=24t-5t2. 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m？

8、已知多项式
（1）当x=0、1、2时，分别计算出多项式的值；
（2）x取任意值时，此多项式的值是否总是为正数，你能说明其中的道理吗？
（3）你知道当x取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？

思维拓展题
9、试说明不论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程？

10、能否选取适当的x的值使得代数式的值为正？为什么？

自主探究题
11、

走进中考
12、（2007年甘肃省白银等7市）探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程
两个根
二次三项式因式分解
x2-2x+1=0
x1=1 ， x2=1
x2-2x+1=（x-1）（x-1）
x2-3x+2=0
x1=1 ， x2=2
x2-3x+2=（x-1）（x-2）
3x2+x-2=0
x1=， x2=-1
3x2+x-2=2（x-）（x+1）
2x2+5x+2=0
x1=-， x2=-2
2x2+5x+2=2（x+）（x+2）
4x2+13x+3=0
x1= ， x2=
4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）
将你发现的结论一般化，并写出来．

答案：
1、16，4
2、1，1
3、，-
4、D
5、C
6、略
7、24t-5t2=16
t=4,t=
8、（1）当x=0、1、2时，
（2）（x-3）2+1
（3）当x=3时，多项式的值最小,最小值是1
9、说明m2-8m+17≠0
10、说明=-2(x-3)2+18-﹤0
11、-
12解：填空：，3；4x2+13x+3=4(x+)(x+3)．
发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x x1）（xx2）．

4.2一元二次方程解法（4）
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知识要点：
一元二次方程,当时，它的根，这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法；当时,该方程无实数根。
学习要点：
会用公式法解一元二次方程。
基础巩固题
1、方程是一元二次方程，则 ，根的判别式△= 。
2、方程中,a=________,b=________,c=________,=________,方程的根为。
3、 方程中，⊿= ，根的情况是 ；
4、用公式法解方程，得到（ ）
A、 B、 C、 D、
5、关于的方程的判别式是 （ ）
A. B. C. D.
6、方程化简整理后，写成形式，其中a、b、c分别是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、了解一元二次方程根的判别式。
⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4

8、用公式法解下列方程：
（1） （2）

（3） （4）

（5）

9、若关于x的一元二次方程有一个根是0，求m。

10、等腰三角形两边之和为10，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长。

11、用一块长方形铁片，在它的四个角各自剪去一边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没盖的盒子。已知铁片长是宽的2倍，做成的盒子的容积是1536cm2，求这个铁片的长和宽。

思维拓展题
12、解关于的方程

自主探究题
13、若实数满足，则= 。

走进中考
14、（2007四川德阳）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．根据该材料填空：
已知，是方程的两实数根，则的值为______　
15、（2007四川乐山）已知是关于的方程的一个根，则_______．

答案：
1、≠-1，
2、2，-3，-4，41，，
3、0，有两个相等实数根
4、D
5、A
6、C
7、（1）△=1（2）△=81
8、略
9、
10、11
11、宽为20，长为40
12、-，
13、
14、10
15、或　

4.2一元二次方程解法（5）
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知识要点：
一元二次方程的根的判别式：关于的一元二次方程的根的判别式是：b2－4ac
根的判别式性质是：
（1）当b2－4ac＞0时，该方程有两个不相等实数根；
（2）当b2－4ac＝0时，该方程有两个相等实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，该方程没有实数根.
学习要点：
利用一元二次方程的根的判别式在不解方程的情况下就能判断一元二次方程根的情况。
基础巩固题
1、方程的判别式为△= ，这个方程 实数根。
2、若关于的方程的判别式△=4，则=
3、若关于的方程没有实数根，则的取值范围为
4、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 。
5、方程的根的情况是 （ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个实数根
C、有一个实数根 D、没有实数根
6、下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、下列方程没有实数根的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
8、若关于的方程有两个相等的实数根，则的取值为（ ）
A、 B、 C、1 D、-1

9、已知a、b、c是ΔABC的三条边的长，那么方程cx2+（a+b）x+ =的根的情况是（ ）。
A、没有实数根 B、有两个相等的实数根
C、有两个实数根，但它们不相等 D、只有一个实数根
10、不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2-3x-4=0 (2)16ｙ2+9=24ｙ

(3)5(x2+1)-7ｘ=0

11、已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。

12、已知方程3x2+kx+12=0有两个等根,且k<0,求方程x2+4x+k=0的解.

13、求证:关于y的方程:y2-(a+2)y+2(a-1)=0一定有两个不相等的实数根。

14、已知关于x的方程
(1)有两个不相等的实数根,求m的范围;
(2)有两个相等的实数根,求m的值,并求出此时方程的根;
(3)有实数根,求m的最大整数值.

思维拓展题
15、已知a、b、c为△ABC的三条边长，求证:关于x的方程:必有两个不相等的实数根。

16、当m为何值时,关于x的方程
(1)有两个实数根？
(2)有实数根？

自主探究题
17、已知a、b、c是△ABC的三条边，方程
有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。

18、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFEC的面积为20cm2

走进中考
17、（2007安徽泸州）若关于z的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m<l B．m>-1 C．m>l D．m<-1
18、（2007湖北荆门）下列方程中有实数根的是（　　）
（A）x2＋2x＋3＝0　（B）x2＋1＝0　（C）x2＋3x＋1＝0　（D）
19、（2007湖南怀化）已知方程有两个相等的实数根，则

答案：
1、0， 有两个相等实数根
2、3
3、
4、0
5、B
6、D
7、A
8、D
9、略
10、由△﹥0得
11、由△=0得，因为所以-12。代入解出或-6
12、由△=（a-2）2+8得出△﹥0
13、△=（a+b+c）(a+b-c)
因为a+b+c﹥0 a+b-c﹥0
所以△﹥0即方程有两个不相等的实数根。
14、(1)m≥-且m≠-,(2) m≥-
15、等腰三角形
16、点D出发1秒或5秒后四边形DFEC的面积为20cm2
17、C
18、C
19、
4.2一元二次方程解法（6）
目标导航：
知识要点：
用因式分解法解一元二次方程时，把原方程一定化为左边是两个整式的积，右边是0的等式。
学习要点：
会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程。
基础巩固题
1、方程x2+2x=0的解为 ；
2、已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3。
3、方程的解是 。
4、方程的较小根的的倒数是 ；
5、方程的解是 ；
6、观察下列各式：
请你将猜想到的规律用
自然数表示出来_______。
7、方程（x+3）（x－3）=0的根的情况是（ ）
A、无实数根 B、有两个不相等的实数根
C、两根互为倒数 D、两根互为相反数
8、用换元法解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6时，如果设x2＋x＝y，原方程可变形为（ ）
A、y2＋y－6＝0 B、y2－y－6＝0 C、y2－y＋6＝0 D、y2＋y＋6＝0
9、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是----------------------（ ）
A、（x+1）（x-3）=2 B、 2（x-2）2=x2-4
C、x2+3x-1=0 D、 5（2-x）2=3
10、已知、是实数，若，则下列说法正确的是（ ）
（A）一定是0 （B）一定是0 （C）或 （D）且
11、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 （ ）
A. 1 B. －l C. 1 或－1　 　 D. 　　
12、关于的方程的解为
A. B. C. D.
13、方程的解是 （　　）
A B C D 无解
14、解下列方程：
（1）（1-x）2 - 9=0 （2）x（x-3）+ 4（3-x）=0

（3） （4）

（5）x2－4x+4=0 （6）

（7） （8）2（2x－3）2－3（2x－3）=0

思维拓展题
15、利用因式分解思想解下列问题：
（1）写出一个一元二次方程，使这个方程一个根为1，另一个根是2的一元二次方程为：__________________。
（2）写出一个根为-2，另一个根满足的一元二次方程为：__________________。
（3）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为2，一个根为-3，另一个根满足的一元二次方程为：__________________。
自主探究题
16、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：

（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。

走进中考
17、（2007浙江嘉兴）解方程：x2＋3＝3(x＋1)．
18、、（2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

答案：
1、0或-2
2、0或2
3、0或
4、-1
5、0，2-
6、
7、D
8、A
9、B
10、C
11、C
12、C
13、B
14、略
15、(1)（x-1）(x-2)=0, (2) （x-1）(x+2)=0答案不唯一，(3) 2(x+3)(x-2)=0
16、（1）<1>，所以
<2>，所以
<3>，所以
……
<n>，所以
（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。
17、解：原方程变为：x2－3x＝0，解得：＝0，＝3
18、解：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为=
=
=，
∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．