微元法解几个物理习题.doc

微元法解物理习题
R
R
O
m
如图所示，质量为M，半径为R的均匀圆环，在其轴线上距离环心为R处放有一质量为m的质点，求环与质点间的万有引力大小。
解：取环上很小一段，质量为ΔM
则F= Fx=Fcos450=
万有引力F=ΣFx=Σ=
T
1、 一半径为R，质量为M的均匀圆绳环，在光滑水平面上以角速度ω绕环心匀速转动，求此时绳中的张力大小。
解：取一微元，其长度为ΔS(ΔS0)，则质量为ΔSM/2πR
∵θ=ΔS/R ∴2Tsin=ΔMω2R ∵θ很小sin= =

得T=

v2
a
L
v1
2、 如图所示，在光滑的水平面上有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为a的区域内，现有一个边长为L（a>L）的正方形闭合线框以初速度v1垂直磁场边界滑过磁场后速度变为v2，求线框完全进入磁场时的速度。
解：线框开始进入磁场受安培力
∴

∵ΣΔS=L ΣΔv=v1-v ∴v1-v=
同理v-v2= ∴v=

3、 将质量为m的小球从某高处以初速度v0竖直抛出，当小球落回该抛出点时速度为v1。已知小球在运动过程中受到空气阻力大小与小球的速度大小成正比，求小球从抛出到落回原处所用时间。
解：上升mg+kv=m ∴mgΔt+kvΔt=mΔv ∴mgΔt+KΔs=mΔv 得Δt=
ΣΔt=t上=
同理下降mg-kv=m ΣΔt=t下=
t=t上+t下=

4、 如图所示，一质量分布均匀的绳子竖直地悬挂在天花板上，下端恰好触及水平地面。如果把绳的上端放开，试证明在绳下落的任一时刻，绳作用于地面的压力3倍于已经落到地面上那部分绳的重力。
证明：设某时刻t1，落到地面上的绳长为x，此时绳下落的速度为v，绳的线密度为ρ。再经极短时间Δt，则又有Δm=vΔtρ的绳落到地面上静止。 v= 因Δt极短，则Δm的速度可视为v不变，
∴(F-Δmg) Δt=-Δmv=-v2Δtρ 得(F-Δmg) =-v2ρ=-2gxρ=-2mg
因时间极短Δmg可不计，F=-2mg
N=F/+mg=3mg

5、 一架质量M=810kg的直升飞机，靠螺旋浆的转动使面积S=30m2内的空气以v0的速度向下运动，从而使飞机悬停在空中。已知空气密度ρ0=1.2kg/m3,试求空气速度v0的大小，并计算飞机发动机的功率。
解：在极短时间Δt内，有体积为v0ΔtS的空气被螺旋浆推动向下运动，
F=Δma=Δm=v0ΔtSρ0 ∵Δt极短空气重力不计，F=Mg,∴v0==15m/s
P=F=8100×7.5=6.1×104W
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