北京化工大学高等固体物理习题课有答案.doc

北京化工大学第二学期研究生课程：固体物理 (2)
样 题

一、简答题
1. 请导出一维双原子链的色散关系，并讨论在长波极限时光学波和声学波原子的振动特点。

a
2a
°
°
°
•
•
•
m
双原子（ M>m）一维晶格

M

运动方程： md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n)
Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)
方程的解是以角频率为w的简谐振动：
x2n+1=Aei{wt-q(2n+1)a} x2n=Bei{wt-q2na}
x2n+2=Bei{wt-q(2n+2)a} x2n+3=Aei{wt-q(2n+3)a}
由牛顿方程与简谐振动方程得：
-mw2A=ks(e iqa+e -iqa)B-2ksA
-Mw2B=ks(e iqa+e -iqa)A-2ksA
上式可改写为：(2ks-mw2)A-(2kscosqa)B=0
-(2kscosqa)A+(2ks-Mw2)B=0
若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
即有解条件2ks-mw2 -2kscosqa
-2kscosqa 2ks-Mw2 行列式为0
得： w2={(m+M)±[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格波各有自己的色散关系：
w12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
w22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
声学波与光学波的比较

相邻原子的振动方向
振动的
频率
长 波 极 限
振动质点
振动质点的质量
同号双原子
异号双原子
声
学
波
相同
慢
原胞
重
连续介
质的弹
性波
光
学
波
相反
快
异号原子相对振动

轻

产生电偶极矩，发射电磁波

2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?  另外，你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？
《1》长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子作相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率较高的振动模式。
长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞作整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率较低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
《2》实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波，这种现象产生的根源是离子晶体中个长光学横波能与远红外电磁波发生强烈耦合，简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格不会吸收远红外光波。
3. 设电子在一维周期势场V（x）中运动，其中V（x）=V(x+a)，按微扰论求出k=处的能隙。

4. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? 为什么说在甚低温下, 德拜模型与实验相符？并对比分析爱因斯坦模型和德拜模型在解释晶格热容中的各自优点和不足之处。
1）按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013HZ ，属于光学支频率。单光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容的贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没有考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
2）在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。
3）Einstein 模型：
把晶体中的原子看作是一些具有相同圆频率 并能在空间做自由振动的独立谐振子，根据Plank理论，他假定每个谐振子的能量是量子化的。
这个模型抓住了本质现象，但过于简化，只是定性地说明了热容温度关系，定量上不够精确。
Debye 模型：
把晶体中原子间相互关联的运动看作是在一个连续的、各向同性介质中的波，并用一个最高频率 为上限的弹性波频谱来表述。
由于德拜理论所引入的频率分布具有晶体实际频率分布的某些特征，因此除去最精密的测量外，这个模型与简单晶体的热容测量结果是吻合的，特别是低温部分。

5. 布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。周期性边界条件的引入，说明了电子的状态是分立的。为了解释固体中电子的能量特点，通常采用克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney）模型，这里请简述该模型的主要思想。

克朗尼格- 朋奈模型实际就是将上图的周期场简化为下图 所示的周期性方势阱后求薛定谔方程的过程

6. 固体中存在几种抗磁性？铁磁和反铁磁是怎样形成的？铁磁和反铁磁在低温和高温下的磁化有什么特点？

7. 简述固体光吸收过程的本征吸收、激子吸收及自由载流子吸收的特点，用光吸收的实验如何确定半导体的带隙宽度？

1）本征吸收：电子由价带到导带的跃迁相关的光吸收，吸收系数很高常伴随可以迁移的电子和空穴，产生光电导。
2）激子吸收：电子由价带向稍低于导带底处的能级的跃迁，这种能级上的电子，不同于被激发到导带上的电子，不显示光导电现象，它们和价带中的空穴偶合成电子-空穴对，作为整体在晶体中存在着或运动着，可以在晶体中运动一段距离（~1μm）后再复合湮灭。

8. 利用费米统计和自由电子气体模型说明低温下电子比热满足T线形关系。

9. 超导体的正常态和超导态的吉布斯自由能的为，这里是超导体的临界磁场，说明在无磁场时的超导相变是二级相变，而有磁场时相变为一级相变。
10. 固体物质主要分作三大类：晶体、非晶体和多晶体，请阐述三者之间的区别与联系。

11. 在进行微观尺度材料设计时，求解多粒子体系量子力学方程必须针对所研究的具体内容而进行必要的简化和近似，试简述求解多粒子体系的薛定谔方程时通常所采用的简化方案。

由于离子质量远大于电子质量，故离子的运动速度远小于电子的运动速度。当原子核运动时，电子极易调整它的位置，跟上原子核的运动。而当电子运动时，可近似认为原子核还来不及跟上，保持不动。这样，在考虑电子的运动时，可以认为离子实固定在其瞬时不动 ，可把电子的运动与离子实的运动分开处理，称玻恩—奥本哈莫近似或绝热近似。通过绝热近似，把一个多粒子体系问题简化为一个多电子体系。
单电子近似把一个多电子问题转化为一个单元电子问题。

12. 久保理论是针对金属超微颗粒费米面附近电子能级状态分布而提出来的，与大块材料费米面附近电子态能级分布的传统理论不同。为了解决理论和实验相脱离的困难，久保对小颗粒大集合体的电子能态做了两点主要假设，这里请简单阐述两点假设的主要思想。

13. 超导体固体材料所具有的完全抗磁性性质可以通过迈斯纳效应来进行解释，这里请简单阐述固体超导体具有的迈斯纳效应。
当超导体冷却到临界温度以下而转变为超导态后，只要周围的外加磁场没有强到破坏超导性的程度，超导体就会把穿透到体内的磁力线完全排斥出体外，在超导体内永远保持磁感应强度为零。超导体的这种特殊性质被称为“迈斯纳效应”。
14. 简述德·哈斯—范·阿尔芬效应的起因。

15. 超导体两个最显著的物理特性是什么？
麦纳斯效应和零电阻效应
16. 简述Bloch定理，解释简约矢k的物理意义，并简述的取值原则。

k具有波矢的意义
推导：

17. 固体中有哪几种可能的光吸收过程？简述固体光吸收过程的本征吸收、激子吸收及自由载流子吸收的特点，用光吸收的实验如何确定半导体的带隙宽度？
本征吸收，激子吸收，自由载流子吸收，晶格振动吸收，杂质吸收，自旋波或回旋共振吸收。
18. 晶体膨胀时, 费密能级如何变化?

19. 两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?

二、计算和证明题
1、 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度： (1) 体心立方，(2)六角密积
体心立方：每单胞中的圆球(原子)数为＝(1/8)×8(角落)+1(中心)＝2；
相邻两原子距离a；
每个圆球半径r；
每个圆球体积= ；
单胞中所能填的最大空间比率=圆球数×每个圆球体积/每个单胞总体积=

因此整个体心立方单胞有68%为圆球所占据，32%的体积是空的。
六角：每个圆球体积
单胞体积：V= n=2
单胞中所能填的最大空间比率=圆球数×每个圆球体积/每个单胞总体积
=0.74
2、 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c和10c. 令两种原子质量相同，且最近邻间距为a/2，求原子的运动方程，指出光学波和声学波大小，并求出在k=0和k=π/a处的ω(k)，大略地画出色散关系。

3、 二价金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数a=0.2 nm， b=0.4 nm，原子为单价，试画出第一、第二布里渊区。
4、 伦纳德-琼斯势为，证明R=1.12σ时势能最小，且U(R)= -ε; 当R=σ时，U(R)= 0; 说明σ和 ε的物理意义。
5、 一维周期势场为
V(x) =
当na-b ≤ x ≤na+b
当(n-1)a+b ≤ x ≤na-b

其中a=4b，W为常数，
(1) 试画出此势能曲线，
(2) 并求出势能平均值
(3) 确定晶体的第一禁带宽度