圆的基础知识与方法PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-,*,圆的基础知识与方法,汉川市实验中学九年级数学组,1,-,知识概要,圆的有关概念,圆的定义,与圆有关的概念,垂径定理,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆周角定理及其推论,与圆有关的位置关系,点与圆有位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,正多边形与圆,扇形与弧长、圆锥的侧面积与全面积,2,-,圆的定义,1,、在一个平面内，线段,OA,绕它固定的一个端点,O,旋转一周，另一端点,A,随之旋转所形成的图形叫做圆。,2,、圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫圆心，定长叫半径。,3,-,与圆有关的概念,弦与直径,直径是一条特殊的弦。它过圆心，且是圆中最长的弦。但弦不上定是直径。,弧与半圆,弧是圆上任意两点间的部分。,半圆是特殊的弧,可以重合的两条弧是等弧（长度相等的弧不一定是等弧）,圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任意一条直线（不能说成直径）。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。,4,-,垂径定理及其推论,对于一个圆和一条直线来说，一般只要具备下列五个条件中的两个，那么也具备其他三个。过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。,一个例外：平分弦的直径不一定垂直于弦，只有当这条弦不是直径时，命题才成立，因为一个圆的两条直径总是互相平分的，但不一定垂直。,由垂径定理可得出一个结论：圆的两条平行的弦所夹的弧相等，但反过来却不一定成立。,5,-,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。此命题的前提是“在同圆或等圆中”。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的数量关系为：设 的度数为,n,，,AB=a,OD=d,，,AOB=n,，,tan =,。,6,-,圆周角及其推论,圆周角必须具备两个特征：顶点在圆周上；角的两边都与圆相交，二者缺一不可，对于顶点在圆内或在圆外的角，可以通过辅助线与圆周角产生数量上的联系。,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。,同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角可能会有两种情况，一是相等、二是互补。,半圆所对的圆周角是直角。在圆中，往往作出直径得到直角三角形。,7,-,与圆有关的位置关系,点与圆的位置关系,点在圆内 点在圆外 点在圆上,d,r d=r d,r,8,-,直线与圆的三种位置关系,相交（,d,r,）相切（,d=r,）相离（,d,r,）,切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。,切线的判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。,由切线的性质定理和判定定理，过切点的半径是一条常用的辅助线。,也就是说：由相切可得到一个直角。,反过来，由垂直关系可判定圆的切线。,9,-,圆与圆的五种位置关系,外离（,dR+r,）,外切（,d=R+r,）,相交,R-rdR+r,）,内切（,d=R-r,）,内含（,dR-r,）,10,-,经典例题（垂径定理）,1,、如图是一座圆拱桥的示意图，桥的跨度为,60,米，拱高,10,米，求桥拱所在圆的半径。,本题考查垂径定理的使用及半径、弓形高、弦心距之间的关系。垂径定理与勾股定理的综合运用是本节知识考查的重点内容。,若将弦,AB,向上移动,5,米，则弦,AB,是变长还是变短？变长或变短多少米？,2,、已知,O,的半径是,5cm,，圆内一点,P,到圆心的距离是,3cm,，则,（,1,）过点,P,的弦中最长的为,cm,。最短的弦长是,cm,。,（,2,）若点,M,是最短的弦上的一点，那么,OM,的取值范围是,。,（,3,）在第（,2,）问中，,OM,可能取的整数值有,个。,3,、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。,（,1,）请你补全这个输水管道的圆形截面。,（,2,）若这个圆形输水管道有水部分的水面宽,AB=16cm,，水面最深处的高为,4cm,，求这个圆形截面的半径。,11,-,经典例题（圆周角定理与相似形）,1,、如图，,ABC,是,O,的内接三角形，直径,GHAB,，交,AC,于,D,，,HG,、,BC,的延长线相交于点,E,。,（,1,）求证：,OAD=E,。,（,2,）若,OD=1,，,DE=3,，试求,O,的半径。,分析,（,1,）,由垂径定理可知点,H,是弧,AB,中点，,ACB,是弧,AB,所对的圆周角，可得,AOH=ACB,。,由三角形外角等于不相邻的两个内角和可证,OAD=E,。,（,2,）由,OAD=E,，可证明,OCD OEC,，,可得,OC,2,=ODOE,，则可求,OC,的长。,2,、已知,O,中，一长为,10cm,的弦,AB,经过另一长为,8cm,的弦,CD,的中点,P,，则点,P,分,AB,所成的两条线段长为,cm,和,cm.,连接,AC,、,BD,，由,PAC PDB,，可得,PAPB=PCPD,（也就是所谓的相交弦定理）。,12,-,3,、如图，,ABC,是,O,的内接三角形，,AD,是,BC,边上的高。,AE,是,O,的直径。,求证：,ABAC=ADAE,变式一,：若将上题中的三角形变形为直角三角形或钝角三角形，上述结论是否仍然成立？请说明理由。,变式二,：若已知,ABC,中，,AB=4,，,AC=5,，,BC,边上的高为,3,，试求,ABC,外接圆的直径。,13,-,经典例题（圆的切线）,1,、如图，已知点,O,是,Rt ABC,斜边上的一点，以,O,为圆心，,OA,为半径的圆与,BC,相切于点,D,，与,A,相交于点,E,。,（,1,）试判断,AD,是否平分,BAC,。,（,2,）若,BD=3BE,，,CD=3,，求,O,的半径。,分析：,（,1,）,由圆的切线性质，连接,OD,后可知,ODBC,，故,ODAC,，由两直线平行，内错角相等可证明,AD,平分,BAC,。,14,-,2,、如图，,ABC,中，,AB=AC,，以,AB,为直径的,O,交底边于点,D,。,（,1,）求证：,D,是,BC,的中点。,（,2,）若,A=40,，求弧,BD,、弧,AE,的度数。,（,3,）过点,D,作,AC,的垂线，垂足为,F,，,试证明,DF,是,O,的切线。,证明思路：连接,OD,，可证明,ODAC,，则可证明,D,是,BC,中点，弧,BD,的度数为,40,和,ODDF,15,-,圆锥的侧面展开图和扇形的面积,1,、如图，分别以直角三角形,ABC,的三边为直径向外作半圆，设直线,AB,左边的阴影面积为,S,1,，,AB,右边的阴影部分面积为,S,2,，则,A,、,S,1,=S,2,B,、,S,1,S,2,C,、,S,1,S,2,D,、无法确定,2,、将一个圆心角为,90,，半径为,8cm,的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥底面圆的半径为,cm,。,3,、一个圆锥的侧面展开后是一个圆心角为,120,，半径为,6cm,的扇形，则此圆锥的全面积为,cm,。,4,、有一个矩形纸片,ABCD,，其中,AD=4cm,，以,AD,为直径的圆正好与边,BC,相切，将它沿,DE,对折后，使点,A,落在,BC,上，这时半圆还露在外面的部分（即图中阴影部分）的面积是,。,16,-,5,、在一个大半圆内部有一个小半圆与之相内切，大圆的弦,AB,与小圆相切，且,AB=24cm,，你能求出图中阴影部分的面积吗？试说明理由。,6,、如图，矩形,ABCD,中，,AB=8,，,BC=6,，将矩形在直线,AB,上顺时针每秒旋转,90,，转动,3,秒后停止，则矩形的顶点,A,经过的路线长是多少？,17,-,；华莱士加盟：,