资源描述
2
023-2024 学年第二学期期中教学检测
初一年级 数学 B
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 120 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1
．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关
信息填写在答题卡指定区域内，并用 2B 铅笔填涂相关信息．
．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
2
3
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔（除作图
题外）和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4
．考生必须保持答题卡的整洁．
第一部分选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．）
1
. 下列各数是无理数的是（
）
2
A 0
B. 3.1415926
C. 16
D. -
2
2
. 关于下图中各角的说法不正确的是（
）
A. Ð1 与Ð2 是同旁内角
B. Ð1 与 Ð4 是内错角
C. Ð3与Ð5是对顶角
D. Ð2 与 Ð3是邻补角
3
. 下列变形中不正确的是（
）
A. 由a > b 得 a -2 > b-2
B. 由 a > b 得 3a > 3b
1
C. 由 -2x > 2 得 x > -1
D. 由 2x > y 得
x >
y
2
ì
x =1
2mx- y =10的一组解为
4
. 已知方程
í
，则 m 的值是（
）
y = 2
î
1
1
A. 6
B.
C. 4
D.
6
4
5
. 下列语句中，是真命题的是（
）
A. 若两角之和为180°，则这两个角是同旁内角
第 1页/共 5页
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 同位角相等
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6
. 下列结论正确的是（
）
A. 25 的平方根是 ±5
B. 0.01 = 0.1
1
C - 没有立方根
D.
3
9 = 3
8
. 若 (a b)2
+
+
- =
7
2b 4 0，则 a 的值是（
）
A. -2
B. 2
C. 4
D. -4
8
. 现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一
个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（
）
A.
C.
B.
D.
9
. 把一些书分给若干名同学，若______；若每人分 11 本，则不够，依题意，设有 x 名同学，列不等式
7(
+ ) <
x 9 11x
．则根线上的信息可以是（
）
A. 每人分 7 本，则可多分 9 个人
B. 每人分 7 本，则剩余 9 本
C. 每人分 9 本，则剩余 7 本
D. 其中一个人分 7 本，则其他同学每人可分 9 本
AB MN PQ
P
P
1
0. 如图 1 的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图 2 的数学问题，已知
，
Ð2 =100°， Ð3 =130°
Ð
若
，则 1 的度数为（
）
A. 40°
B.
5
0°
C.
60°
70°
D.
第 2页/共 5页
第二部分非选择题（90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
1
1 比较大小： -4 _____ - 15 （填“＞”“ =”或“＜”）
1
2. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若 ÐCOB =140° ，则Ð AOC 的大小为______．
ì
2x -1³ x + 2
1
1
1
1
3. 不等式组： í
x + 5 < 4x -1的解集为______．
î
4. 一个面积为 20 的正方形，它的边长为 a，则 a 的整数部分为______．
ì
x = 2
ìax -by =1
5. 已知 í
是二元一次方程组 í
的解，则3a +b的值为______．
y =1
bx + ay = 8
î
î
6. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB ， CD ，若CD / /BE ，Ð1= 40°，
则 Ð2 的度数是________．
三、解答题：（本大题共 9 小题，满分 72 分）
1
7. 解不等式 4x < 3x -2，并把解集在数轴上表示出来．
1
8. 计算：
2(
+ )+
3 2
3 -2
（1）
；
1
2
2
+
-
3
-64
（2）
16
1
9. 解方程组：
ì
y =1- x
（
1） í
5x + 2y = 8
î
第 3页/共 5页
ì
x + 2y =10
ï
（
2） í x 1- y
+
= 0
ï
î
2
3
x + y + z
2
2
0. 已知 x +1 = 3 ， 3 10- y = 2，z 是 ( 9)2
-
的平方根，求
的值．
1. 如图，在8´8 的正方形网格中有三角形 ABC ，点 A，B，C 均在格点上．
AC
的最短路径 BD
（
（
（
形
1）作出点 B 到直线
；
2）在条件（1）下，过 C 点作出 AB 的平行线，交 BD于点 E；
3）经过平移，三角形
ABC
的顶点 A 平移到了点 B，作出平移后的三角形
BFG（其中 F，G 分别是三角
ABC
的顶点 B，C 的对应点）．
2
2. 夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10% ，将某种果汁饮料每瓶
的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 15 元，调价后买上述碳酸饮料 1 瓶和果汁饮料
．．． ．．．
2
2
瓶共花费 24.5 元，问这种碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶各多少元？
．．．
3. 如图，已知点 A 在 EF 上，点 P，Q 在 BC 上，连接
AB，AC，EQ，FP
，其中 AB 与 EQ
相交于点 M，
AB ^ AC，ÐE = ÐEMA，ÐBQM = ÐBMQ
若
．
（
1）求证： EF ∥BC ；
Ð2 = Ð1，ÐBAF = 3ÐF -20°，求Ð EAC
（2）若
的度数．
4
x +3y = 2024
2
4. 已知 x，y 满足关系式
．
（
1）当 x = 500 时，求 y 的值；
第 4页/共 5页
2
2
x + y <1000
，求 y 的取值范围；
（
2）若 x，y 满足
（3）若 x，y 满足
x - y =10k + 2，且 x + y ³ 600
，求 k 的取值范围．
2
5. 如图 1，已知ÐAOB = 90° ，点 F 是线段 AB 上一点，满足 ÐFOA = ÐFAO ，OG是Ð BOC 内的一条
ÐBOG = ÐBOF
射线，满足
．
（
1）求证：OG P AB
；
（2）如图 2，点 P 是线段OB 上一动点，连接 AP 交 OF 于点 Q，当点 P 在线段OB 上运动的过程中，
Ð
OQA+ ÐBAP
k =
的值是否会发生变化？若不变，请求出 k 的值；若变化，请说明理由；
Ð
OPA
ÐBAO = 45°
ÐPAO = 2ÐPAB
，在（2）的条件下，当 时，
（3）如图 3，若
ÐPQO =
①
______；
②将△OPQ
绕着点 Q 以每秒15° 的速度逆时针旋转，旋转时间为 t，当
PQ 边与射线QA
重合时停止旋转，
OP 与△QAF
则在旋转过程中，当△OPQ
的边
的某一边平行时，t 的值为______．
第 5页/共 5页
2
023-2024 学年第二学期期中教学检测
初一年级 数学 B
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 120 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1
．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关
信息填写在答题卡指定区域内，并用 2B 铅笔填涂相关信息．
．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
2
3
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔（除作图
题外）和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4
．考生必须保持答题卡的整洁．
第一部分选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．）
1
. 下列各数是无理数的是（
）
2
A. 0
B. 3.1415926
C. 16
D. -
2
【
【
【
答案】D
解析】
分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数；根据定义逐项判断即可，其中初中范围内学习
，
的无理数有：p 2p
等；开方开不尽的数；以及像
0.1010010001¼，等有这样规律的数．
2
【
详解】解： -
是无理数，
2
故选：D．
2
. 关于下图中各角的说法不正确的是（
）
A. Ð1 与Ð2 是同旁内角
B. Ð1 与 Ð4 是内错角
C. Ð3与Ð5是对顶角
D. Ð2 与 Ð3是邻补角
【答案】B
【解析】
第 1页/共 18页
【
分析】本题考查同位角、内错角、对顶角和邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其
区分．根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解．
详解】解：A、 Ð1 与 Ð2 是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
【
B、 Ð1 与Ð4 不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；
C、 Ð3与Ð5是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、Ð2 与 Ð3是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
3
. 下列变形中不正确的是（
）
A. 由a > b 得 a -2 > b-2
B. 由 a > b 得 3a > 3b
1
C. 由 -2x > 2 得 x > -1
D. 由 2x > y 得
x >
y
2
【
【
【
答案】C
解析】
分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可，能灵活运用不等式的性质进行变形
是解此题的关键．
【详解】解：A、Q a > b
， \ a-
2
>
b- 2 ，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、Q a > b ，\ 3a> 3b，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、Q-2x > 2 ，\x < -1，原变形错误，故本选项符合题意；
1
D、Q 2x > y ，\x >
y
，原变形正确，故本选项不符合题意；
2
故选：C．
ì
x =1
2mx- y =10的一组解为
4
. 已知方程
í
，则 m 的值是（
）
y = 2
î
1
1
4
A. 6
B.
C. 4
D.
6
【
答案】A
解析】
【
ì
x =1
2mx- y =10中，得到关于 m 的方程，求解即可．
【
分析】将 í
代入
y = 2
î
ì
x =1
2mx- y =10中，
【
详解】解：将 í
代入
y = 2
î
可得 2m - 2 =10 ，解得 m = 6 ，
第 2页/共 18页
故选 A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解是满足方程的未知数的值．
5
. 下列语句中，是真命题的是（
）
A. 若两角之和为180°，则这两个角是同旁内角
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 同位角相等
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【
【
【
答案】D
解析】
分析】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，根据相关定义和性质，逐项判断
即可，此题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
【详解】解：A、若两角之和为180°
，则这两个角不一定是同旁内角，故 A 不是真命题；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故 B 不是真命题；
C、两直线平行，同位角才相等，故 C 不是真命题；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故 D 是真命题，
故选：D．
6
. 下列结论正确的是（
）
A. 25 的平方根是 ±5
B. 0.01 = 0.1
9 = 3
1
C. - 没有立方根
D.
3
8
【
【
【
答案】B
解析】
分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，根据平方根，算术平方根，立方根的定义进行判断即可．
【
详解】解：A、 25 的平方根是 ± 5 ，选项错误；
B、 0.01 = 0.1，选项正确；
1
C、 - 有立方根，选项错误；
8
D、 3 9 ¹ 3 ，选项错误；
故选 B．
. 若 (a b)2
+
+
- =
7
2b 4 0，则 a 的值是（
）
第 3页/共 18页
A. -2
B. 2
C. 4
D. -4
【
【
【
答案】A
解析】
分析】根据非负数的性质进行求解即可．
详解】解：∵ (
a + b
)
2
+
2b - 4 = 0
，
( + )2
a b
³
0，2b - 4 ³
，
【
0
(
a + b
)
2
=
2b - 4 = 0
∴
，
ì
a + b = 0
í
∴
∴
，
2b - 4 = 0
î
ì
a = -2
í
，
b = 2
î
故选 A．
点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为 0，那么这几个非负数都为 0 是解题的关键．
. 现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一
个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（
【
8
）
A.
C.
B.
D.
【
【
【
【
答案】B
解析】
分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可．
详解】解：由图可知：A，C，D 中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路
的宽为宽的长方形的面积，B 中阴影部分的面积比其它三个小 1 个以小路的宽为边长的小正方形的面积；
故选 B．
9
. 把一些书分给若干名同学，若______；若每人分 11 本，则不够，依题意，设有 x 名同学，列不等式
7(
+ ) <
x 9 11x
．则根线上的信息可以是（
）
A. 每人分 7 本，则可多分 9 个人
B. 每人分 7 本，则剩余 9 本
第 4页/共 18页
C. 每人分 9 本，则剩余 7 本
D. 其中一个人分 7 本，则其他同学每人可分 9 本
【
【
【
答案】A
解析】
分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【
详解】解：由不等式 (
)
7
x + 9 <11x
可得，把一些书分给几名同学，若每人分 7 本，则可多分 9 个人； 若
每人分 11 本，则不够，
故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量
的等量关系．
AB MN PQ
P
P
1
0. 如图 1 的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图 2 的数学问题，已知
，
Ð2 =100°， Ð3 =130°
Ð
若
，则 1 的度数为（
）
A. 40°
B.
5
0°
C.
60°
70°
D.
【
【
【
Ð
答案】B
解析】
分析】本题主要考查了平行线的性质，延长 AB 到点 C，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出
CBD = 80° ，则 ÐCBE = 50°，再由两直线平行，内错角线段即可得到 1
CBE 50 ．
Ð = Ð
=
°
【
详解】解：延长 AB 到点 C，如图：
Q
\
\
AB P MN
，
Ð2 + ÐCBD =180°
，
Ð CBD =180°- ∠2 = 80°，
第 5页/共 18页
Ð
3 =130°
∵
∴
，
Ð CBE =∠3-∠CBD = 50°
Q
AB P PQ
，
\
Ð1= Ð CBE = 50°，
故选：B．
第二部分非选择题（90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
1
1. 比较大小： -4_____ - 15 （填“＞”“ =”或“＜”）
<
【
答案】
解析】
【
【
分析】先把 -4化为 - 16 的形式，再根据负数比较大小的法则进行比较即可．
【详解】解：∵ -4 = - 16 ，16 >15
，
16 > 15 ，
∴
∴
- 16 < - 15 ，即 -4 < - 15 ．
故答案为：
<．
【
点睛】本题考查的是实数的大小比较，根据题意把 -4 化为 - 16 的形式是解答此题的关键．
1
2. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若 ÐCOB =140° ，则Ð AOC 的大小为______．
40°##40
【答案】
度
【解析】
【
分析】本题考查邻补角，由邻补角的性质：邻补角互补，即可计算, 关键是掌握邻补角的性质．
详解】解：QÐAOC + ÐBOC =180° ， ÐCOB =140° ，
ÐAOC =180°-ÐCOB = 40°
【
\
．
40°．
故答案为：
ì
2x -1³ x + 2
x + 5 < 4x -1的解集为______．
1
3. 不等式组： í
î
第 6页/共 18页
【答案】 x ³ 3##3£ x
【解析】
【
分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结
果．
2
x -1³ x + 2
，得：
x ³ 3；
【
详解】解：解不等式
解不等式 x + 5 < 4x -1，得：
不等式组的解集为： x ³ 3．
x > 2
，
∴
1
4. 一个面积为 20 的正方形，它的边长为 a，则 a 的整数部分为______．
【答案】4
【解析】
【
分析】本题考查算术平方根的应用，无理数的估算，根据正方形的面积公式得到 a = 20 ，进而估算出
a
的范围，即可得出结果．
【
详解】解：由题意，得：正方形的边长 a = 20 ，
16 < 20 < 25 ，
∵
4 < 20 < 5，
∴
∴
a 的整数部分为 4；
故答案为：4．
ì
x = 2
ìax -by =1
bx + ay = 8
î
1
5. 已知 í
是二元一次方程组 í
的解，则3a +b的值为______．
y =1
î
答案】9
解析】
【
【
ì
x = 2
【
分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将 í
代入方程组，再将两个方程相加即可得出结
y =1
î
果．
ì
x = 2
ìax -by =1
ì2a -b =1①
【
详解】解：把 í
代入 í
，得： í
，
y =1
bx + ay = 8
î
îa + 2b = 8②
î
①
+②，得：3a +b = 9 ；
故答案为：9．
1
6. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB ， CD ，若CD / /BE ，Ð1= 40°，
第 7页/共 18页
则 Ð2 的度数是________．
【
【
【
【
答案】100°
解析】
分析】根据平行线的性质即可求解．
详解】解：延长 BC 至 G，如下图所示，
由题意得，AF∥BE，AD∥BC，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
AF∥BE，
∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
AD∥BC，
∠3=∠4（两直线平行，同位角相等），
∠4=∠1=40°，
CD∥BE，
∠6=∠4=40°（两直线平行，同位角相等），
这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB、CD，
∠5=∠6=40°，
∠2=180°-∠5-∠6=180°-40°-40°=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
三、解答题：（本大题共 9 小题，满分 72 分）
第 8页/共 18页
1
7. 解不等式 4x < 3x -2，并把解集在数轴上表示出来．
【
【
【
答案】 x<- 2，图见解析
解析】
分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，利用定边界，定方向，
在数轴上表示出解集即可。
详解】解： 4x < 3x -2，
【
x<- 2；
∴
数轴表示解集如图：
1
8. 计算：
2(
+ )+
3 2
3 -2
（1）
；
1
2
2
+
-
3
-64
（2）
16
【
答案】（1） 3 + 6
2
5
（2）
4
【
【
（
（
【
解析】
分析】本题考查了实数的运算，立方根，算术平方根，熟知相关计算是解题的关键．
1）先去括号和绝对值，再算加减，即可解答；
2）将每一项算出，再加减，即可．
小问 1 详解】
2(
+ )+
3 2
3 - 2
解：
，
=
2 3 + 4+ 2- 3
，
=
3 + 6
；
小问 2 详解】
1
【
2
2
+
-
3
-64 ，
解：
16
第 9页/共 18页
1
=
=
2+ + 4
，
4
2
5
．
4
1
9. 解方程组：
ì
y =1- x
（
1） í
5x + 2y = 8
î
ì
x + 2y =10
ï
（
2） í x 1- y
+
= 0
ï
î
2
3
ì
x = 2
【
答案】（1） í
y = -1
î
ì
x = 2
（
2） í
y = 4
î
【
【
（
（
【
解析】
分析】本题考查了解一元二次方程，选用合适的方法可快速求出答案．
1）将①代入②，即可解答；
2）先将②式，去分母，再使用加减消元法，即可解答．
小问 1 详解】
ì
y =1- x①
解： í
，
5x + 2y = 8②
î
5
+ ( - ) =
x 2 1 x
8
把①代入②可得
解得 x = 2 ，
，
把 x = 2 代入①可得
y = -1，
ì
x = 2
\
í
是原方程的解；
y = -1
î
【小问 2 详解】
ì
x + 2y =10①
ï
解： í x 1- y
，
+
= 0②
ï
î
2
3
3
x + 2-2y = 0③
②去分母，可得
，
第 10页/共 18页
①
+③ 可得 4x + 2 =10 ，
解得 x = 2 ，
把 x = 2 代入①可得
y = 4
2
+ 2y =10
，
解得
，
ì
x = 2
\
í
y = 4是原方程的解．
î
x + y + z
的值．
2
0. 已知 x +1 = 3 ， 3 10- y = 2，z 是 ( 9)2
的平方根，求
-
【
【
【
答案】13 或 7
解析】
x
y
z
分析】本题考查了立方根，平方根，根据立方根和平方根的概念，可得 ， ， 的值，可得答案,利用相
关概念得出 ， ， z 的值是解题关键．
x
y
【
详解】解：对 x +1 = 3 平方，得
，解得
x +1= 9 x = 8；
根据 3 10- y = 2得10 - y = 8
，
解得
y = 2；
(
9
- )2
=
9
±3
9 ， 的平方根为
，
\
\
z = ±3，
x + y + z = 8+ 2+ 3= 13 或 x + y + z = 8+ 2 -3 = 7
．
2
1. 如图，在8´8 的正方形网格中有三角形 ABC ，点 A，B，C 均在格点上．
AC
的最短路径 BD
（
（
（
形
1）作出点 B 到直线
；
2）在条件（1）下，过 C 点作出 AB 的平行线，交 BD于点 E；
3）经过平移，三角形
ABC
的顶点 A 平移到了点 B，作出平移后的三角形
BFG（其中 F，G 分别是三角
ABC
的顶点 B，C 的对应点）．
第 11页/共 18页
【
（
【
【
答案】（1）见解析
（2）见解析
3）见解析
解析】
分析】本题考查了作图 平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方
向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
AC
的垂线，垂足为 D 点；
（
（
（
【
1）利用网格特点，过 B 点作
2）把 AB 向下平移 2 个单位得到CF ，则CF 与 AD 的交点为 E 点；
3）利用网格特点和平移的性质画出点 A 、 B 、C 的对应点即可；
小问 1 详解】
解：如图， AD 为所作；
【小问 2 详解】
解：如图，CE
为所作；
【小问 3 详解】
BFG
解：如图，三角形
为所作：
2
2. 夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10% ，将某种果汁饮料每瓶
的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 15 元，调价后买上述碳酸饮料 1 瓶和果汁饮料
．．． ．．．
2
瓶共花费 24.5 元，问这种碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶各多少元？
．．．
10元
【
答案】碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶分别为5元和
．．
．
【解析】
x
y
分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶分别为 元， 元，根
【
．
．．
据调价前买这两种饮料各一瓶共花费 15 元，调价后买上述碳酸饮料 1 瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 24.5 元，列
．．． ．．．
出方程组进行求解即可．
x
y
详解】解：设碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶分别为 元， 元，由题意，得：
【
．
．．
第 12页/共 18页
ì
x + y =15
í
，
(
+
) + ( - ) =
1 10% x 2 1 5% y 24.5
î
ì
x = 5
解得： í
；
y =10
î
答：碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶分别为5元和
．．．
1
0元．
3. 如图，已知点 A 在 EF 上，点 P，Q 在 BC 上，连接
AB，AC，EQ，FP
，其中 AB 与 EQ
相交于点 M，
2
AB ^ AC，ÐE = ÐEMA，ÐBQM = ÐBMQ
若
．
（
（
【
【
【
1）求证： EF ∥BC ；
Ð2 = Ð1，ÐBAF = 3ÐF -20°，求Ð EAC
2）若
的度数．
答案】（1）见解析
（2）140°
解析】
分析】本题考查平行线的判定和性质：
Ð
E = ÐBQM
，即可得出结论；
（1）根据对顶角相等，结合已知条件，得到
（
2）先证明 AB∥FP ，根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件，求出 ÐF 的度数，进而求出 Ð2
Ð2+ÐBAC ，求出Ð EAC
的度数，再利用
的度数即可．
【
小问 1 详解】
Ð
E = ÐEMA，ÐBQM = ÐBMQ ，ÐEMA = ÐBMQ
证明：∵
，
Ð
E = ÐBQM
∴
，
∴
【
∵
∴
∵
∴
EF ∥BC ；
小问 2 详解】
EF ∥BC ，
Ð2 = ÐB ，
Ð1= Ð2，
Ð1= ÐB ，
第 13页/共 18页
∴
∴
∵
AB∥FP ，
ÐBAF + ÐF =180° ， Ð2 = ÐF ，
ÐBAF = 3ÐF - 20° ，
∴3
ÐF -20°+ÐF =180°
，
ÐF = 50°
∴
，
Ð
2 = 50°，
∴
∵
∴
∴
AB ^ AC
，
ÐBAC = 90°，
EAC = Ð2+ÐBAC =140°
Ð
．
4
x +3y = 2024
．
2
4. 已知 x，y 满足关系式
（
1）当 x = 500 时，求 y 的值；
2
2
x + y <1000
，求 y 的取值范围；
（
2）若 x，y 满足
（
【
（
3）若 x，y 满足
x - y =10k + 2，且 x + y ³ 600
，求 k 的取值范围．
y = 8
答案】（1）
y > 24
2）
k £ 7
（
【
【
3）
解析】
分析】本题考查二元一次方程和不等式的性质，熟练掌握二元一次方程的解法和不等式的基本性质是解
题的关键．
x = 500
4x +3y = 2024
，求解即可；
（1）把
代入
4
x +3y = 2024
2x + y <1000
，求解即可；
（2）将
变形，根据
4
x +3y = 2024 和 2x - y =10k + 2
x
y
x + y ³ 600
，求解出 ， 的值，根据 ，求解 k 即可．
（3）联立
【小问 1 详解】
x = 500
4´500 +3y = 2024
解：当
时，可得
，
y = 8
解得
；
【
小问 2 详解】
2
024 -3y
4
x +3y = 2024
x =
变形为
解：将
，
4
第 14页/共 18页
2
024 -3y
2024 -3y
x =
2x + y <1000
+ y <1000
把
代入
，可得
，
4
2
y > 24
解得
；
【小问 3 详解】
ì
4x +3y = 2024
解： í
，
2x - y =10k + 2
î
ì
x = 3k + 203
解得 í
，
y = -4k + 404
î
\
3k + 203- 4k + 404 ³ 600
，
k £ 7
解得
．
2
5. 如图 1，已知ÐAOB = 90° ，点 F 是线段 AB 上一点，满足 ÐFOA = ÐFAO ，OG是Ð BOC 内的一条
ÐBOG = ÐBOF
射线，满足
．
（
1）求证：OG P AB
；
（2）如图 2，点 P 是线段OB 上一动点，连接 AP 交 OF 于点 Q，当点 P 在线段OB 上运动的过程中，
Ð
OQA+ ÐBAP
k =
的值是否会发生变化？若不变，请求出 k 的值；若变化，请说明理由；
Ð
OPA
ÐBAO = 45°
ÐPAO = 2ÐPAB
，在（2）的条件下，当 时，
（3）如图 3，若
ÐPQO =
①
______；
②将△OPQ
绕着点 Q 以每秒15° 的速度逆时针旋转，旋转时间为 t，当
PQ 边与射线QA
重合时停止旋转，
OP 与△QAF
则在旋转过程中，当△OPQ
的边
的某一边平行时，t 的值为______．
【
（
【
【
答案】（1）见解析
3）①75°②3或 4 或 9
解析】
（2）不变，2
ÐCOG = ÐFOA = ÐFAO
分析】（1）根据等角的余角相等，推出
，即可得出结论；
第 15页/共 18页
ÐOQA = 2ÐBOG +ÐBAP = 2ÐABO+ÐBAP
（
2）根据三角形的外角的性质和平行线的性质，得到
，
ÐOPA = ÐOBA+ÐBAP
，进行求解即可；
ÐOQA = 2ÐABO+ÐBAP = 90°+15° =105°
¢ ¢
O P ∥AF
（3）①先求出
，在用平角的定义求解即可；②分
，
O¢P¢∥AQ，O¢P¢∥FQ
三种情况进行讨论求解即可．
【小问 1 详解】
证明：∵ ÐAOB = 90° ，
ÐBOC = 90° ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
ÐBOG = ÐBOF
，
ÐBOC -ÐBOG = ÐBOA-ÐBOF
，
ÐCOG = ÐFOA
，
ÐFOA = ÐFAO ，
ÐCOG = ÐFAO
，
∴OG P AB
；
【小问 2 详解】
不变，
k = 2；
∵OG P AB
，
Ð
OFA = ÐFOG = 2ÐBOG,ÐBOG = ÐOBA
∴
∴
∵
，
ÐOFA = 2ÐOBA，
ÐOQA = ÐOFA+ÐBAP = 2ÐABO+ÐBAP ， ÐOPA = ÐOBA+ÐBAP
，
Ð
OQA+ ÐBAP 2ÐABO + ÐBAP + ÐBAP
k =
=
= 2
∴
；
ÐOPA
ÐOBA+ ÐBAP
【小问 3 详解】
ÐBAO = 45°，ÐPAO = 2ÐPAB
①∵
，
1
Ð
PAB = ÐBAO =15°,ÐOBA = 45°
∴
，
3
Ð
OQA = 2ÐABO+ÐBAP = 90°+15° =105°
由（2）知：
PQO =180°-ÐOQA = 75°；
故答案为： 75°；
，
Ð
∴
第 16页/共 18页
②
当O¢P¢∥AF
时，如图：
∵
∴
FOA = ÐFAO = 45°，
ÐOFA = 90°，
∵O¢P¢∥AF
，
ÐP¢MQ = ÐOFA = 90°
∴
，
Ð
FAP =15°，
∵
∴
∴
∵
ÐOAP = 30°
，
ÐOPA = 60°，
旋转，
Ð
Ð
Ð
O¢P¢Q = ÐOPA = 60°，
∴
∴
P¢QM = 90°-60° = 30°
，
PQP¢ = ÐOQP -ÐP¢QM = 75°-30° = 45°
∴
∴
，
t = 45°¸15° = 3；
当O¢P¢∥AQ时，如图
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