高考数学11.5复数的概念及运算配套练习.doc

第5讲 复数的概念及运算

随堂演练巩固
1.若复数ii,则等于( )
A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i
【答案】 A
【解析】 ∵ii,
∴i)(3-i)=3-i+3i-ii.故选A.
2.已知iR),其中i为虚数单位,则a+b等于( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 ∵i,∴a+2i=bi+i.∴a+2i=-1+bi.
由复数相等知a=-1,b=2,∴a+b=1,选B.
3.若R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
【答案】 C
【解析】 由(a+i)i=b+i,得ai-1=b+i,所以a=1,b=-1.
4.复数等于( )
A.i B.-i
C.i D.i
【答案】 A
【解析】 ∵i,∴i.
5.已知复数i对应的点在复平面坐标系的第二、四象限的角平分线上,则实数a= .
【答案】 -2
【解析】 i=-1-(a+1)i.由题意知a+1=-1,
∴a=-2.

课后作业夯基
基础巩固
1.i是虚数单位,复数等于( )

A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i
【答案】 A
【解析】 i.
2.如果i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )
A.1 B.-1 C. D.
【答案】 B
【解析】 方法一:i)(1+mii+i+mim+i.
∵i)(1+mi)为实数,∴.∴m=-1.
方法二:代入验证法.将m=-1代入检验,可知.
方法三:若i)(1+mi)为实数,则i)(1+mi)=i)(1-mi),求解可知.
3.在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 D
【解析】 i,对应的点为(1,-1),故选D.
4.复数等于( )
A.2-i B.1-2i
C.-2+i D.-1+2i
【答案】 C
【解析】 i.
5.已知复数是z的共轭复数,则等于( )
A. B. C.1 D.2
【答案】 A
【解析】 方法一:∵
∴.
∴.
方法二:∵
∴|z|.∴|z|.
6.i是虚数单位,若iR),则ab的值是( )
A.-15 B.-3 C.3 D.15
【答案】 B
【解析】 ∵i,
∴a=-1,b=3,ab=-3.
7. i为虚数单位等于 ( )
A.0 B.2i C.-2i D.4i
【答案】 A
【解析】

=0.
8.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是( )
A.(1,5) B.(1,3) C. D.
【答案】 C
【解析】 |z|∵0<a<2,∴.
9.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为 .
【答案】 2
【解析】 z(2-3i)=6+4i,∴
i.
故|z|.
10.复数z=x+yiR)满足|z-1|=x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】 由|z-1|=x,得|(x-1)+yi|=x,
所以整理,得.
11.(2011上海春招,14)为求解方程的虚根,可以把原方程变形为再变形为由此可得原方程的一个虚根为 .
【答案】 中的一个
【解析】 由题意可知,
1],
比较二次项、三次项系数知
解得 或
由此得原方程的一个虚根为中的一个.
12.当实数m取何值时,复数i)-[4+(5m+6)i]为实数?为虚数?为纯虚数?
【解】 先把复数z整理成i.
(1)当即m=-1或m=6时,z是实数.
(2)当即且时,z是虚数.
(3)当 即
∴m=4时,z是纯虚数.
13.已知复数满足(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数的虚部为2,且是实数,求.
【解】 ∵i)=1-i,∴i.
设iR.
i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
∵R,∴a=4,
∴i.
14.已知复数i
(1)求;
(2)若△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列,且cosA+2icos求||的取值范围.
【解】 i.
(2)在△ABC中,由于内角A、B、C依次成等差数列,
∴B=60,A+C=120.又cosA+2icosi
=cosA+(2cosi=cosA+icosC,
∴||coscos
=cos(A+C)cos(A-C)+1=1+cos120cos(A-C)
cos(A-C).
由于A+C=120,∴A-C=120-2C.
∴-120<A-C<120.∴cos.
也就是||即||.
拓展延伸
15.设z是虚数是实数,且.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设求证:u为纯虚数;
(3)求的最小值.
【解】(1)∵z是虚数,∴可设z=x+yiR,且
∴ii
i.
∵是实数且∴.
∴即|z|=1.此时.
∵∴-1<2x<2,从而有.
即z的实部的取值范围是.
(2)证法一:i,
∵∴.∴u为纯虚数.
证法二:∵z为虚数,且|z|=1,∴=1,即z.
.
∴u为纯虚数.
(3)i
2x+
∵∴1+x>0.
于是

当且仅当2即x=0时等号成立.
∴的最小值为1,此时i.