九年级数学下学期月考试卷含解析.doc

2015-2016学年内蒙古包头市北重一中九年级（下）月考数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共16分）
1．下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，则∠D的度数是（　　）

A．120° B．110° C．100° D．80°
3．等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长是（　　）
A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．14cm
4．到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（　　）
A．三边的垂直平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
5．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
7．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，BD是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为（　　）
A． B．9 C．12 D．6
8．用配方法解方程x2+4x﹣1=0，配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
9．如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
10．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．36° C．45° D．50°
11．为了让山更绿、水更清，确保到2015年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2013年全省森林覆盖率为60.05%，设从2013年起全省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．60.05（1+2x）=63% B．60.05（1+3x）=63
C．60.05（1+x）2=63% D．60.05%（1+x）2=63%
12．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长DE到H使DE=BM，连接AM、AH．则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：（每小题3分，共24分）
13．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE=5，则BC=　　　　　　．

14．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是　　　　　　．（填上你认为正确的一个答案即可）

15．命题“如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1+∠2=180°”．它的逆命题是　　　　　　．
16．若x=2是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根，则2a+b=　　　　　　．
17．在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10，∠CAB=30°，AB=6，则平行四边形ABCD的面积为　　　　　　．
18．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　　　　　　．
19．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为　　　　　　．

20．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　　　　　　度．

三、解答题（共60分）
21．解方程
（1）x2﹣4x+3=0；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
22．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿到两条公路OM、ON距离相等的一条小路上逃窜（如图所示，在∠MON内），埋伏在A、B两处的公安人员想在相等的距离同时抓住贩毒分子（两处公安人员速度相同），请你帮助公安人员在图中标出抓捕点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

24．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
25．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值；
（3）是否存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于﹣1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
26．A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以3厘米每秒的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2厘米每秒的速度向点D移动．
（1）经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）经过多长时间，四边形APQD是矩形？
（3）P、Q两点从出发开始几秒时，在AB上存在一点M，使△PMQ为等边三角形．

2015-2016学年内蒙古包头市北重一中九年级（下）月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共16分）
1．下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程必须满足三个条件：
（1）整式方程；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
【解答】解：①符合一元二次方程的条件，故正确；
②是无理方程，故错误；
③是分式方程，故错误；
④可化为x2+3x﹣3=0，符合一元二次方程的条件，故正确；
⑤可化为﹣41x+14=0，含一个未知数，是一元一次方程，故错误；
故是一元二次方程的只有①④．
故选B．

2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，则∠D的度数是（　　）

A．120° B．110° C．100° D．80°
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】先根据AB∥CD求出∠A的度数，再由等腰梯形的性质求出∠D的度数即可．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B=80°
∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣80°=100°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠D=∠A=100°．
故选C．

3．等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长是（　　）
A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．14cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm；
故选B．

4．到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（　　）
A．三边的垂直平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．
【解答】解：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．
故选：A

5．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．
【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
【解答】解：连接BD，
已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF=BD，
∴EH=GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
故选：A．

6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．

7．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，BD是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为（　　）
A． B．9 C．12 D．6
【考点】角平分线的性质．
【分析】求BD的长应利用锐角三角函数算出和直角三角形有关的AD长和CD长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=30°，
在Rt△ABC中，tan30°=
∴=
∴BC=
在Rt△CBD中，CD=BC•tan30°=6
∴AD=AC﹣CD=18﹣6=12
∵∠A=∠ABD
∴BD=AD=12．
故选C．

8．用配方法解方程x2+4x﹣1=0，配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据x2+4x﹣1=0，通过配方法可以得到相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：∵x2+4x﹣1=0，
∴x2+4x+4﹣4﹣1=0，
∴（x+2）2﹣5=0，
∴（x+2）2=5，
故选D．

9．如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据∠1=∠2，求出∠BCA=∠DCE，根据SAS证△ABC≌△ECD即可．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DCA=∠2+∠DCA，
即∠BCA=∠DCE，
在△ABC和△ECD中
，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
故选A

10．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．36° C．45° D．50°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C，∠A，∠EBD之间的关系，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：设∠EBD=x°，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．
故选C．

11．为了让山更绿、水更清，确保到2015年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2013年全省森林覆盖率为60.05%，设从2013年起全省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．60.05（1+2x）=63% B．60.05（1+3x）=63
C．60.05（1+x）2=63% D．60.05%（1+x）2=63%
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】等量关系为：2013年全市森林覆盖率×（1+增长率）2=2015年全市森林覆盖率，把相关数值代入即可．
【解答】解：2014年全市森林覆盖率为60.05%×（1+x），
2015年全市森林覆盖率为60.05%×（1+x）×（1+x）=60.05%×（1+x）2，
可列方程为60.05%×（1+x）2=63%，
故选D．

12．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长DE到H使DE=BM，连接AM、AH．则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，再求出DF=CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠EDC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF=∠BDC=60°，再根据平角等于180°即可求出∠BMD=120°，从而判定②正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出∠ABM=∠ADH，再利用“边角边”证明△ABM和△ADH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=AM，对应角相等可得∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，从而判定出△AMH是等边三角形，判定出③正确
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC﹣BE=CD﹣CF，
即CE=DF，
在△BDF和△DCE中，，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°﹣∠DMF=180°﹣60°=120°，故②小题正确；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM和△ADH中，，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH是等边三角形，故③小题正确，
综上所述，正确的是①②③，
故选D

二、填空题：（每小题3分，共24分）
13．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE=5，则BC=　10　．

【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线定理得到BC=2DE，代入DE的长即可求出BC．
【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵DE=5，
∴BC=10．
故答案为：10．

14．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是　∠A=90°　．（填上你认为正确的一个答案即可）

【考点】矩形的判定；平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．
【解答】解：添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°．

15．命题“如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1+∠2=180°”．它的逆命题是　如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2是邻补角．　．
【考点】命题与定理．
【分析】逆命题就是把原来命题的题设和结论互换．
【解答】解：命题“如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1+∠2=180°”的逆命题是“如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2是邻补角．”

16．若x=2是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根，则2a+b=　1　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据x=2是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根，可以得到关于a、b的等式，通过变形即可得到2a+b的值．
【解答】解：∵x=2是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根，
∴a×22+b×2﹣2=0，
∴4a+2b﹣2=0，
∴4a+2b=2，
∴2a+b=1，
故答案为：1．

17．在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10，∠CAB=30°，AB=6，则平行四边形ABCD的面积为　30　．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】要想求▱ABCD的面积可以利用平行四边形的面积公式，先求出底和高，再计算面积．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，

∵∠CAB=30°，
∴CH=AC=×10=5，
∴S▱ABCD=AB•CH=6×5=30．
故答案为：30．

18．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　．
【考点】根的判别式；一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．
【分析】当a=0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；
当a≠0时，方程是一元二次方程，只要有实数根，则应满足：△≥0，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可．
【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0时，方程是一元二次方程，
若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，
则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，
解得：a≥﹣1．
故答案为：a≥﹣1．

19．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为　2m　．

【考点】一元二次方程的应用．
【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540
整理得：x2﹣52x+100=0
解得：x1=50（舍去），x2=2
故答案为：2

20．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　85　度．

【考点】三角形内角和定理．
【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．
【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，
∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，
∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．
故答案为：85．

三、解答题（共60分）
21．解方程
（1）x2﹣4x+3=0；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）首先把等号左边分解因式，可得（x﹣3）（x﹣1）=0，从而可得一元一次方程x﹣3=0，x﹣1=0，再解即可；
（2）首先把等号右边分解因式，然后移项可得2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）=0，再提公因式x﹣3，进行因式分解，然后可得x﹣3=0，x﹣9=0，再解即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣1）=0，
则x﹣3=0，x﹣1=0，
故x1=3，x2=1；

（2）2（x﹣3）2=（x﹣3）（x+3），
2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）=0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]=0，
（x﹣3）（x﹣9）=0，
则：x﹣3=0，x﹣9=0，
故x1=3，x2=9．

22．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿到两条公路OM、ON距离相等的一条小路上逃窜（如图所示，在∠MON内），埋伏在A、B两处的公安人员想在相等的距离同时抓住贩毒分子（两处公安人员速度相同），请你帮助公安人员在图中标出抓捕点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，两线交点即为所求．
【解答】解：作∠MON的平分线OC，连接AB，作线段的垂直平分线与OC交于点P，则点P为抓捕点．
如图，
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在∠MON的角平分线上，点P也在其上）
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段AB的垂直平分线上）．
∴两线的交点，即点P符合要求．

23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

【考点】等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【分析】（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴ABED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴平行四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=，
∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2．

24．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）=2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分

（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6=54（元），． …9分
答：该店应按原售价的九折出售． …10分

25．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值；
（3）是否存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于﹣1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）由题意可知一元二次方程x2+3x+m﹣1=0有两个实数根分别为x1和x2，根据方程根的判别式求出m的范围．
（2）先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1•x2=m﹣1，再利用已知条件得到﹣6+m﹣1+10=0，然后解一次方程即可；
（3）假设存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于﹣1，即+=﹣1，将x1+x2=﹣3，x1•x2=m﹣1代入求出m的值，与（1）中所求m的范围比较即可求解．
【解答】解：（1）∵x2+3x+m﹣1=0有两个实数根分别为x1和x2，
∴b2﹣4ac=32﹣4（m﹣1）≥0，
∴m≤；

（2）根据题意得：
x1+x2=﹣3，x1•x2=m﹣1，
∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，
∴﹣6+m﹣1+10=0，
∴m=﹣3．
∵m≤，
∴m=﹣3符合题意；

（3）假设存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于﹣1，即+=﹣1，
则==﹣1，
解得m=4，
∵m≤，
∴m=4不符合题意，
故不存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于﹣1．

26．A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以3厘米每秒的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2厘米每秒的速度向点D移动．
（1）经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）经过多长时间，四边形APQD是矩形？
（3）P、Q两点从出发开始几秒时，在AB上存在一点M，使△PMQ为等边三角形．

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解；
（2）根据矩形的性质得出AP=DQ，即可求出t的值；
（3）根据等边三角形的性质得出PQ=PM，根据勾股定理得出关于t的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，

则PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD﹣AP﹣CQ=16﹣5t，
∵PH2+HQ2=PQ2
可得：（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm

（2）要使APQD是矩形，必须AP=DQ，
即3t=16﹣2t，
解得：t=，
即经过s时，四边形APQD是矩形；

（3）如图2，

过Q作QN⊥AB于N，
∵△PQM是等边三角形，
∴PQ=PM，
∵AP=3t，CQ=BN=2t，
∴PN=MN=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，
∵PQ=PM，
∴PQ2=PM2，
∴62+（16﹣5t）2=（16﹣5t+16﹣5t）2，
解得：t=，
所以P、Q两点从出发开始秒时，在AB上存在一点M，使△PMQ为等边三角形．