2020年上海普陀区初三数学一模试卷及答案.doc

普陀区2019学年度第一学期初三质量调研
数 学 试 卷
（时间：100分钟，满分：150分）

考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是轴，那么这个函数是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．已知在Rt△中，，，那么下列说法中正确的是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
4．下列说法中，正确的是（ ▲ ）
（A）如果，是非零向量，那么；
（B）如果是单位向量，那么；
（C）如果，那么或；
（D）已知非零向量，如果向量，那么∥．

x
y
O
图1
5． 如果二次函数的图像如图1所示，
那么一次函数的图像经过（ ▲ ）
（A）第一、二、三象限； （B）第一、三、四象限；
（C）第一、二、四象限； （D）第二、三、四象限．
图2
A
D
C
B
6．如图2，在Rt△中，，，垂足为点，如果，
，那么的长是（ ▲ ）
（A）4； （B）6； （C）； （D）．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．化简： ▲ ．
8．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ▲ ．
9．已知函数，如果，那么 ▲ ．
10．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个
交点的坐标是 ▲ ．
11． 将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在
轴上，那么的值等于 ▲ ．
12．已知在Rt△中，，，，那么 ▲ ．
13．如图3，△的中线、交于点，点在边上，//，那么的值是 ▲ ．
14．如图4，在△与△中，，要使△与△相似，还需添加
图5
A
B
C
D
图4
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
G
F
一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只需填一个条件）

图3

15． 如图5，在Rt△中，，是三角形的角平分线，如果，，那么点到直线的距离等于 ▲ ．
A
D
B
图6
C
图7
A
D
C
B
O
图8
A
B
C
16．如图6，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡（、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了 ▲ 米．（结果保留根号）

17．如图7，在四边形中，，对角线、交于点，，
，如果，，那么 ▲ ．
18．如图8，在Rt△中，，，，点为边上一点，，
将△绕点旋转得到△（点、、分别与点、、对应），使//，边与边交于点，那么的长等于 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算： ．

20.（本题满分10分）
如图9，在△中，点、、分别在边、、上，//，//，．
（1）当时，求的长；
（2）设，，那么 ▲ ， ▲ （用向量、表示）．
A
B
C
D
E
F
图9

21．（本题满分10分）
如图10，在△中，点、分别在边、上，，垂足为点，，垂足为点，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
图10
C
D
B
A
P

22．（本题满分10分）
函数与函数（、为不等于零的常数）的图像有一个公共点，其中正比例函数的值随的值增大而减小，求这两个函数的解析式．

23．（本题满分12分）
已知：如图11，四边形的对角线、相交于点，．
（1）求证：；
（2）设△的面积为，，求证：．
C
D
B
A
O
图11

24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线经过点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点．
（1） 求抛物线的表达式及点的坐标；
（2） 点是轴正半轴上的一点，如果，求点的坐标；
图12

O
1
1
（3）在（2）的条件下，点是位于轴左侧抛物线上的一点，如果△是以为直角边的直角三角形，求点的坐标．

25．（本题满分14分）
如图13，在梯形中，//，，，，，点在边上，．点是射线上一个动点（不与点、重合），联结交射线于点，设，．
（1）求的长；
（2）当动点在线段上时，试求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当动点运动时，直线与直线的夹角等于，请直接写出这时线段的长．
A
B
C
D
E
N
M
图13

A
B
C
D
E

备用图

普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷
参考答案及评分说明
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．(B)； 2．(C)； 3．(A)； 4．(D)； 5．(B)； 6．(C)．

二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． ；
8． ；
9． 7；
10． ；
11．1；
12．6；
13． ；
14．（等）；
15．2 ；
16．；
17．；
18．．

三、解答题
（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19． 解：原式 （4分）
（3分）
． （3分）

20． 解：（1）∵//，//，
∴． （1分）
∵，∴． （1分）
∵//，
∴． （1分）
∵，∴． （1分）
解得 ， （1分）
． （1分）
（2） ，． （2分+2分）

21．解：（1）∵，，
∴． （1分）
在Rt△与Rt△中，
，
∴Rt△∽Rt△． （1分）
∴． （1分）
∵，，
得． （2分）
（2）∵Rt△∽Rt△．
∴．
∴． （1分）
∵，，∴． （1分）
∵，，
∴△∽△． （1分）
∴． （1分）
得． （1分）

22．解：由点在函数的图像上，可得
． （1分）
整理，得． （1分）
解得 ，． （2分）
∵正比例函数的值随的值增大而减小，
∴． （2分）
得 ，点． （2分）
由点在函数的图像上，可得
． （1分）
∴． （1分）
两个函数的解析式分别为，．

23．证明：
（1）过点作⊥，垂足为点. （1分）
∵S△AOD=, S△AOB=,
∴. （2分）
同理，． （1分）
∵，
∴． （1分）

（2）∵，，
∴△∽△． （1分）
∴． （1分）
． （1分）
∵△的面积为，∴. （1分）
又∵，∴． （1分）
同理，. （1分）
∴

． （1分）

24．解：（1）由抛物线经过点和点，
得 解得 （2分）
∴抛物线的表达式是． （1分）
点的坐标是． （1分）
（2）联结交于点，过点作，为垂足．
∵，，∴．
由对称性可得 ． （1分）
∵，∴．
在Rt△中，． （1分）
在Rt△中，，
∵，
∴．∴． （1分）
∵，∴．
∴点的坐标是． （1分）
（3）∵△是以为直角边的直角三角形， ∴或．
设点点的坐标为．
①当时，点只能在的下方．
过点作，为垂足．
∴，．
∵，，
∴．∴．
∴．∴． （1分）
解得，．
∵不合题意舍去，∴．
∴点的坐标是． （1分）
②当时．
同理可得点的坐标是． （2分）

25．解：（1）过点作，为垂足．
∵，∴．
∵，∴．∴//．
∵//，∴． （1分）
同理可得． （1分）
在Rt△中，，，∴．
∴． （1分）
∵，∴． （1分）
（2）延长、交于点． （1分）
∵//，∴．
由，，，
得，解得． （1分）
∴． （1分）
∵//，∴．
在Rt△中，，，，
可得． （1分）
由，
化简，得 （）． （2分）
（3）①当点在线段上时，． （2分）
②当点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上，． （2分）

15