高考物理中的数学方法(二)全解析版.doc

高考物理中的数学方法（二）
选择题单位判断

1.图示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为。取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴。设轴上任意点P到O点的的距离为x，P点电场强度的大小为E。下面给出E的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的。你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，E的合理表达式应为( )
A．
B．
C．
D．

解析：当R1=0时，对于A项而言E=0，此时带电圆环演变为带电圆面，中心轴线上一点的电场强度E>0，故A项错误；当x=0时，此时要求的场强为O点的场强，由对称性可知E0=0，对于C项而言，x=0时E为一定值，故C项错误。当x→∞时E→0，而D项中E→4πκσ故D项错误；所以正确选项只能为A。
另外，从单位而言：电场力的单位为N，k为静电力常量，单位为Nm2/C2，σ为单位面积的带电量，单位为C/m2，q单位为C，则2πkσq表达式的单位即为N，故各表达式中其它部分应无单位，故可知AC肯定错误；
2.如图所示，为一个半径为R的均匀带电球体，总带电荷量为Q，取球体中心为O点，设空间中任意一点为P，O到P点的距离为r（R＞r≥0），P点的电场强度为E，下面给出E的四个表达式中（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的，你可能不会求解此处的电场强度E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断，根据你的判断，E的合理表达式应为（　　）

A.E=kQR2 B.E=kQr2 C.E=kQrR2 D.E=kQrR3
答案：D。AB只能用来求点电荷的场强．由题，O到P点的距离为r（R＞r≥0），P点在球体内，不能将球体看成点电荷，所以不能用这两个公式求场强．A、B不合理．故AB错误．
C、从单位来看，此式右边单位是C/m，左边场强单位为N/C，1N/C=1C/m2，所以左右两边的单位不同，肯定不合理．故C错误．
D、据上分析，运用排除法可知D是合理的．故D正确．
3.如图所示，空间存在足够大、正交的匀强电、磁场，电场强度为E、方向竖直向下，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里。从电、磁场中某点P由静止释放一个质量为m、带电量为+q的粒子（粒子受到的重力忽略不计），其运动轨迹如图虚线所示。对于带电粒子在电、磁场中下落的最大高度H，下面给出了四个表达式，用你已有的知识计算可能会有困难，但你可以用学过的知识对下面的四个选项做出判断。你认为正确的是（ ）
A.        B.  C.        D.   
答案：B。此题不要求计算，相关单位何以速换：涉及电场和磁场Eq=Bqv，涉及H、m有EqH=mv2/2。
联立两式得H=2mEB2q。
4.如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M、倾角为θ的光滑斜面体，它的斜面上有一质量为m的物块沿斜面下滑。关于物块下滑过程中对斜面压力大小的解答，有如下四个表达式。要判断这四个表达式是否合理，你可以不必进行复杂的计算，而根据所学的物理知识和物理方法进行分析，从而判断解的合理性或正确性。根据你的判断，下述表达式中可能正确的是  (  )

A．  B．   C．  D.  
答案：D．分析：本题要求定性的分析即可，所以可以采用特殊值的方法来快速的得到答案．
解答：解：如果物体不是放在斜面上，而是在水平面上，即θ=0的时候，
此时Mm之间的作用力应该是mg，
此时的sinθ=0，AB选项的结果为0，所以AB错误；
对于C选项，
M=msin2θ是可能的，而在C选项中，此时的结果为无穷大，所以C错误；
所以正确的为D选项．
点评：由于斜面是在光滑的水平面上，并没有固定，物体与斜面相互作用会使斜面后退，由于斜面后退，物体沿着斜面下滑路线与地面夹角＞θ，与物体沿着固定斜面下滑截然不同．
5.有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断．例如从解的物理量单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一种特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果，实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。
举例如下：如图所示．质量为M，倾角为θ的斜劈A放于水平地面上，把质量为m的滑块B放在A的斜面上．忽略一切摩擦，有人求得B相对地面的
B
A
θ

加速度a=(M+m)gsinθM+msin2θ，式中g为重力加速度。对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题．他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”．但是，其中有一项是错误的．请你指出该项（ ）
A．当θ=0°时，该解给出a=0，这符合常识，说明该解可能是对的
B．当θ=90° 时，该解给出a=g，这符合实验结论，说明该解可能是对的
C．当M＞＞m时，该解给出a=gsinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
D．当m＞＞M时，该解给出a=gsinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
答案：D
A、当θ=0°时，sinθ=0，故a=0，故A正确；
B、当θ=90°时，sin90°=1，故a=g，自由落体，故B正确；
C、当M＞＞m时，M+m≈M，M+msin2θ≈M，斜面体近似不动，可解出a=gsinθ，故C正确；
D、当m＞＞M时，斜面体飞出，物体近似自由落体，a≈g；但由于M+m≈m，M+msin2θ≈msin2θ，根据表达式a=gsinθ，矛盾，故D错误；故选D．
6.2013年6月20日，女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了我国首次
太空授课。授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面张力引起的效应。在视频中可观察到漂浮的液滴处于周期性的“脉动”中。假设液滴处于完全失重状态，液滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性的微小变化（振动），如图所示。已知液滴振动的频率表达式为f=kσρr3，其中k为一个无单位的比例系数，r为液滴半径，ρ为液体密度；σ（其单位为N/m）为液体表面张力系数，它与液体表面自由能的增加量ΔE（其单位为J）和液体表面面积的增加量ΔS有关，则在下列关于σ、ΔE和ΔS关系的表达式中，可能正确的是( )
A.σ=ΔE∙∆S B. σ=1ΔE∙∆S C. σ=ΔE∆S D. σ=ΔS∆E
答案：C
图像含义

1．(2017松江)如图甲所示，某同学在水平面上用水平力拉一质量为1kg的物块，使物块由静止开始运动。该同学测得不同时刻物块的速度v和拉力F，并绘出v-1/F图像（图乙），其中线段AB与v轴平行，线段BC的延长线过原点，C点时刻对应的速度为物块恰好达到最大速度，阻力恒定。物块从静止开始达到最大速度时发生的位移为15.5m。则BC段物块的位移大小为__________m，线段BC中点对应的物块加速度大小为___________m/s2。

解析：由题意可知，物体达到最大速度时，合外力为0，阻力f=2N， BC段斜率k=v1/F=Fv不变，则BC段F恒定功率，所以A点为1/3.2，AB段F恒定为3.2N。a1=F-fm=1.2m/s2,AB=2.4m，BC=13.1m，虽然BC段是加速度逐渐减小的加速运动，只能用平均速度v=3.12m/s，F2=2.46N，所以a2=0.46m/s2。
2.如图（a）所示电路中，当滑动变阻器R的触头从一端滑到另一端的过程中，两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图（b）所示。不考虑电表对电路的影响，则 
A．定值电阻R0为2Ω  B．电源内阻r为10Ω 
C．电源电动势E为3.4V  D．定值电阻R0的最大电功率为0.9W

匀速或匀加速涉及常数

1．（2009上海）如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s。一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F＝0.5v＋0.4（N）（v为金属棒运动速度）的水平力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大。（已知l＝1m，m＝1kg，R＝0.3W，r＝0.2W，s＝1m）

（1）分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；
（2）求磁感应强度B的大小；
（3）若撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足v＝v0－x，且棒在运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？
（4）若在棒未出磁场区域时撤去外力，画出棒在整个运动过程中速度随位移的变化所对应的各种可能的图线。
【解析】
（1）R两端电压U=rR+rBLv，v=(R+r)BLrU=kU，U随时间均匀增大，则v随时间均匀增大，金属棒做匀加速运动。
（2）F－＝ma，以F＝0.5v＋0.4代入得（0.5－）v＋0.4＝a，a与v无关，所以a＝0.4m/s2，（0.5－）＝0，得B＝0.5T。
（3）因为v＝v0－x，当物体停下来时，v=0，则v0－B2L2m(R+r)x2=0
又v0＝at，所以x2=m(R+r)atB2L2=0.8t，
因为x1=12at2,x1+x2＝s，所以at2+at＝s，得：0.2t2+0.8t－1＝0，t＝1s，
（4）可能图线如下：

t=1s时撤去F t<1s撤去F 0<t<1s时撤去F t=1s时撤去F
2.（2007上海）如图（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。

（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？
（4）若t=0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小．
解：（1）设导体棒的速度为v2，则导体棒收到的安培力为F=B2L2v1.-v2R
当导体棒速度恒定时，F=f，得v2=v1-fRB2L2
(2)阻力不能超过最大的安培力，即：fm=B2L2v1R
(3)阻力的功率为fv2=fv1-f2RB2L2
热功率为I2R=B2L2v1.-v22R=f2RB2L2
(4)导体棒做匀加速运动，设加速度为a，t1时刻开始运动，则B2L2v1.-v2R=f+ma
则v2-v1是常数，所以线框的加速也是a，又a=vtt-t1
联立两式得：a=B2L2vt+fRB2L2t-mR
根据关系式判断物体做什么性质运动

1.（普陀二模2017）如图，两根足够长、间距L＝1m的光滑平行导轨竖直固定。在垂直导轨的虚线
a1a2下方有方向如图、磁感应强度B0＝0.5T的匀强磁场，垂直导轨的虚线b1b2上方有垂直纸面、磁感应强度B＝T（x为离b1b2的距离）、沿水平方向均匀分布的磁场。现用竖直向上的力F拉质量m＝50g的细金属杆c从b1b2以初速度v0开始向上运动，c杆保持与导轨垂直。同时，释放垂直导轨置于a1a2下质量也为m＝50g、电阻R＝20Ω的细金属杆d，d杆恰好静止。其余电阻不计，两杆与导轨接触良好，g取10m/s2。
（1）求通过杆d的电流大小及b1b2以上区域磁场的方向；
（2）通过分析和计算，说明杆c做什么性质的运动；

（3）以杆c从b1b2出发开始计时，求其所受作用力F的大小与时间t的关系式。
解析：（1）杆d受重力、安培力作用而平衡：B0IL=mg，得： I=mgB0L=1A
由于杆d受到的安培力向上，杆d中电流向左，杆c电流方向向右，用右手定则得到磁场垂直纸面向外。
（2）设杆c上升到离b1b2距离为x处、切割磁感线的速率为v，则I=BLvR ，v=IRBL=4+10x，
符合v=v02+2ax公式，所以杆c做初速度2m/s，加速度a=5m/s2向上的匀加速直线运动,
杆c的速度为v=5t+2,运动方程为x=2t+52t2
（3）杆c此时受拉力F、重力、安培力作用，由牛顿第二定律有：
F=BIL+mg+ma=0.75+204+10xN=(0.75+202+5t)N

变量无计算方法时用平均值

1.(2016上海)如图所示，一关于y轴对称的导体轨道位于水平面内，磁感应强度为B的匀强磁场与平面垂直．一足够长、质量为m的直导体棒沿x方向置于轨道上，在外力F作用下从原点由静止开始沿y轴正方向做加速度为a的匀速加速直线运动，运动时棒与x轴始终平行．棒单位长度的电阻为ρ，与电阻不计的轨道接触良好，运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P＝ky32(SI)。求：

(1)导体轨道的轨道方程y＝f(x)；
(2)棒在运动过程中受到的安培力Fm随y的变化关系；
(3)棒从y＝0运动到y＝L过程中外力F的功．
[答案] (1)y＝x2　(2)Fm＝y
(3)L2＋maL
[解析] (1)设棒运动到某一位置时与轨道接触点的坐标为(±x，y)，安培力的功率
P＝＝ky
棒做匀加速运动v2＝2ay，R＝2ρx
代入前式得y＝x2，轨道形状为抛物线．
(2)安培力Fm＝=v＝
以轨道方程代入得Fm＝y.
(3)由动能定理W＝Wm＋mv2
在y=L处， Fm=k2ay=k2aL，从y＝0运动到y＝L，Fm=kL22a
安培力做功Wm=k2aL2
棒在y＝L处动能mv2＝maL
外力做功W＝L2＋maL.

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