2019汕头一模理科数学(教师版).doc

2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1．答案：D
解析：．
2．已知是虚数单位，复数，若，则 （ ）
A．0
B．2
C．
D．1
2．答案：A
解析：．
3．已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

则X的数学期望（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3．答案：B
解析：由，得，所以．
4．已知向量，若，则向量与向量的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．答案：D
解析：，因为，所以，解得，当时，
，所以向量与向量的夹角为．
5．一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
5．答案：B
解析：由抛物线的定义可知该圆必过抛物线的焦点．

6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
6．答案：A
解析：，因为，所以
，当，即时，．
7．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．答案：C
解析：6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：个，所以所求概率为．
8．在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．平面
D．平面
8．答案：C
解析：选项A，连接，则，因为与相交，所以A错；
选项B，取中点，连接，则，在中，，所以与不垂直，所以与不垂直，B错；
选项C，设，连接，则，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面，C正确；
选项D，连接，易证得，平面，所以与平面不垂直，D错．

9．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．答案：C
解析：由题意，，恒成立，即
恒成立，当时，，
，所以实数的取值范围是．
10．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．答案：B
解析：渐近线方程为，将代入，得，
为双曲线的通径，，因为，所以，即，
则，即，则，则．
11．三棱锥中，平面的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．答案：A
解析：因为平面，所以是圆柱模型，设，则，设外接圆半径为，的外接球半径为，则，，
所以，即的最小值为2，所以外接球的体积的最小值为．
12．定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．答案：D
解析：当时，，此时，所以，
画出函数的图象，因为函数在上有零点，所以的图象与的图象有交点，由图，当直线过点时，，由图象可得，实数的取值范围是．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．设满足约束条件，则的最大值为 ．
13．答案：19
解析：作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的，其中，
，所以．

14．已知，则 ．
14．答案：

15．在的展开式中，的系数为30，则实数的值为 ．
15．答案：
解析：展开式中含的项为，
所以，，，所以．
16．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且
，则面积的最大值为 ．
16．答案：
解析：由，得，
所以，故，又由余弦定理，，
故，又，所以，故，当且仅当即为等边三角形时等号成立，所以面积的最大值为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
17．解析：（1）当时，，即，………………………………………………1分
当时， ①， ②……………………2分
，得，即，………………………………3分
所以，且，………………………………………………………………………………4分
所以数列为常数列，………………………………………………………………………………5分
，即．……………………………………………………………………6分
（2）由（1）得，所以，…………………………8分
所以，………………………………………………………………9分
，…………（没写也不扣分）……………………………………10分
………………………………………………11分
．……………………………………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

18．解析：（1）连接，因为底面为菱形，，所以是正三角形，
是的中点，，……………………………………………………………………1分
又，……………………………………………………………………………2分
平面，平面，…………………………………………3分
又平面，………………………………………………………………4分
又平面，所以平面平面．……………………………………………………5分
（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，
则，………………………………6分
设，则，……7分
又，
设是平面的一个法向量，则 ，
取，得，……………………………………………………………………9分
设直线与平面所成角为，由，得：
．………………………………………10分
化简得：，解得或，
故存在点满足题意，此时为或．………………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）
我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：
人工投入增量x（人）
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y（万元）
13
22
31
42
50
56
58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有．

（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
回归模型
模型①
模型②
回归方程

182.4
79.2
附：若随机变量，则，；
样本的最小二乘估计公式为：，
另，刻画回归效果的相关指数
19．解析：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，…………………1分
由正态分布的对称性可知，
，…3分
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故，…4分
故，
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%．……………………5分
（2）（i）由，有
，………………………………………………………………6分
且，……………………………………………………7分
所以，模型②中关于的回归方程为 ………………………………………………8分
（ii）由表格中的数据，有，即…………………………9分
模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．……………………………………10分
当时，模型②的收益增量的预测值为
（万元），…………………………………………11分
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．……………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，
，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（1）由，得，……………………………………………………………………1分
，………………………………………………………………………………2分
在中，由余弦定理得：，
代入化简得，………………………………………………………………………………3分
解得，从而，，………………………………………………………………4分
所以椭圆的方程为．………………………………………………………………………5分
（2）存在这样的点符合题意．设，
由，设直线的方程为，…………………………………………6分
由，得，…………………………………………7分
，
由，得，………………………………………………8分
又点在直线上，所以，……………………9分
所以．
若有，则，……………………………………………………10分
整理得，…………………………………………………………………………11分
所以存在实数，且的取值范围为．…………………………………………………………12分

21．（本小题满分12分）
已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在3个零点，求实数的取值范围．
21．解析：（1）……………………………………1分
因为，由，得或．……………………………………………………2分
（i）当时，，
在和上，，单调递增；
在上，，单调递减，…………………………………………………………3分
（ii）当时，，在上，，单调递增，……………………4分
（iii）当时，，
在和上，，单调递增；
在上，，单调递减，…………………………………………………………5分
（2），
所以有一个零点．……………………………………………………………………………6分
要使得有3个零点，即方程有2个实数根，
又方程，令，………………7分
即函数与图像有两个交点，
令，得……………………………………………………8分
的单调性如表：

1

－
－
0
＋
＋

↘
↘
极小值
↗
↗
………………………………………………………………………………………………………………9分
当时，，又，的大致图像如图，………………11分
所以，要使得有3个零点，
则实数的取值范围为……………………………12分

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
（1）设是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最大值为，求的值；
（2）若曲线上任意一点都满足，求的取值范围．
22．解析：（1）依题意得曲线的普通方程为，……………………………………1分
因为，所以，因为，
因为直线的直角坐标方程为，即，…………………………………………2分
所以圆心到直线的距离为，…………………………………………………………3分
则依题意得，…………………………………………………………………4分
因为，解得．………………………………………………………………………………5分
（2）因为曲线上任意一点都满足，所以，…………………………7分
所以，解得或，……………………………………………9分
又，所以的取值范围为．…………………………………………………………10分

23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）设，当时都有，求的取值范围．
23．解析：（1）因为，所以，所以…1分
当时，由，得，即，得．
所以不等式无解………………………………………………………………………………………………2分
当时，由，得，即，得．
所以………………………………………………………………………………………………3分
当时，由，得，即，得，
所以…………………………………………………………………………………………………4分
综上所述，不等式的解集为：．…………………………………5分
（2）因为，所以，…………………………………………………………………………6分
因为，所以，………………………………………………………………7分
因为在上恒成立，
所以，即，………………………………………………8分
令，
依题意可知恒成立，所以，即，…………………………………………9分
所以的取值范围为．…………………………………………………………………………10分