2020年上海长宁初三数学一模试卷及答案.doc

2019学年第一学期初三数学教学质量检测试卷
（考试时间：100分钟 满分：150分）

考生注意:
1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.
2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1. 下列函数中是二次函数的是
O
y
A
α
第2题图
x
（A）； （B）； （C）； （D）.
2. 如图，已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴
的夹角的余切值是
（A）； （B）； （C）； （D） .
3. 将抛物线向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为
（A） ； （B）；
（C）； （D）.
4. 下列命题正确的是
（A）如果，那么； （B）如果都是单位向量，那么；
（C）如果，那么 ； （D）如果或，那么．
5. 已知在矩形中，，对角线，⊙C的半径长为，下列说法正确的是
（A）⊙与直线相交； （B）⊙与直线相切；
（C）点在⊙上； （D）点在⊙内.
6. 如果点、、分别在的边、、上，联结，且，
那么下列说法错误的是
（A）如果，那么；
（B）如果，那么；
（C）如果∽，那么；
（D 如果，那么∽.
二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）
【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7. 计算： ▲ ．
8. 如果，那么的值等于 ▲ ．
9. 已知点在线段上，且满足，则的值等于 ▲ ．
10. 已知抛物线的开口向上，则的取值范围是 ▲ ．
11. 抛物线在轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”）
12. 如果一条抛物线经过点，，那么它的对称轴是直线 ▲ ．
13. 如图，传送带把物体从地面送到离地面米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度，那么物体所经过的路程为 ▲ 米．
14. 如图，与交于点，，若点是线段的中点，且，则的长等于 ▲ ．
15. 如图，在中，，点是重心， ，，
第15题图
A
B
C
G
第14题图
E
D
B
C
A
则的长是 ▲ ．
第13题图
A
B
传送带

5米

16. 已知相交两圆的半径长分别为与，圆心距为，则这两圆的公共弦长为 ▲ ．
第18题图
A
B
C
17. 如果直线把分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线叫做的“完美分割线”．已知在中，，的一条“完美分割线”为直线，且直线平行于，若，则的长等于 ▲ ．
18. 如图，在中，，，，点在边上，
联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，
点的对应点是点，则的长等于 ▲ ．

三、解答题（本大题共7题, 满分78分）
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】
19．（本题满分10分）
计算：．

20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
第20题图
A
B
C
D
E
F
G
如图，在梯形中，点、 分别在边、上，，
与交于点，，，．
（1）求的长；
（2）设，，
第21题图
A
B
C
E
D
O
那么 ▲ ； ▲ （用向量、 表示）．

21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，已知是⊙的弦，点在⊙上，且，
联结、，并延长交弦于点，，．
（1）求的大小；
（2）若点在⊙上，，求的长．

22．（本题满分10分 ）
图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示支架，支架的一部分是固定的，另一部分是可旋转的，线段表示投影探头，表示水平桌面，，垂足为点，且，，，．
图3
M

O
A
B

45°
160°
图2
M
O
A
B
160°
C
图1

D

将图2中的绕点向下旋转，使得落在的位置（如图3所示），此时，，，求点到水平桌面的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1 cm）
第23题图
G
A
C
B
E
D
F

23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，在中，点、分别在边、上，
与交于点．若平分，．
（1）求证：；
（2）若，交边的延长线于点，
求证：．

24.（本题满分12分，每小题4分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）点是轴右侧抛物线上的一点， 过点作，交线段的延长线于点，如果，求证：∽；
第24题图图

y
x
C
A
B
O
（3）若点是线段（不包含端点）上的一点，且点关于的对称点恰好在上述抛物线上，求的长．

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图，已知在中，，，，点、分别在边、射线上，且，过点作，垂足为点，联结．以、为邻边作平行四边形．设，平行四边形的面积为．
（1）当平行四边形为矩形时，求的正切值；
（2）当点在内，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
A
B
C
备用图
A
B
C
备用图
第25题图
A
B
C
P
Q
M
N
（3）当过点且平行于的直线经过平行四边形一边的中点时，直接写出的值．

长宁区2019学年第一学期初三数学参考答案和评分建议

2019.1
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．； 8．； 9．； 10．； 11．下降； 12．；
13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．．
三、（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）解：原式= (6分)
= (2分)
= (2分)
20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
解：（1） ∵ ∴ ， （1分）
∵ ∴
∵ ∴ ∴ （2分）
∵ ∴ 又∵ ∴
∴ ∵ ∴ ∴ （2分）
∴ （1分）
（2）， （2分+2分）
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）设圆O的半径为r,则的长为 （1分）
∵CD过圆心O, ∴， （1分）
在中，∴
∴ ∴ （2分） 在中， ，
∴ （1分）
(2) 过点O作 ，垂足为点 ，∴ （1分）
∵ ∴ （1分）
联结，∴ ∴
∴ （1分）
在中，， ∴ （1分）
∴ （1分）
22．（本题满分10分）
解：过点作的垂线交的延长线于点，延长交于点，
设，由题意可知：
，，，， （4分）
在 中，，
得 （1分）
∴ （1分）
在 中，， 得
∴ （1分）
∴． （1分）
∴点到水平桌面的距离约为 （1分）
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
证明：（1）∵ ∴ （1分）
∵平分 ∴ （1分）
∴∽ （1分）
∴ （1分）
又∵
∴ （1分）
(2)∵， ∴ （1分）
∴ （1分）
∵ ∴
又∵ ∴ （2分）
∴∽ （1分）
∴ （1分）
∴ 即． （1分）
24．（本题满分12分，每小题4分）
解：（1）∵抛物线过点 、
∴ ∴ （2分）
∴ （1分）
令得，∴点的坐标为 （1分）
（2）∵，， ∴，，
∴ ∴
又∵ ∴ ∴ （1分）
∵， ∴，∵ ∴ （1分）
∵，
∴ ∵ ∴ （1分）
∴∽ （1分）
（3） 设点是点关于直线的对称点，则，
过点作轴，垂足为点
∵， ，
∴ ∴ ∴ （1分）
∵点同时在线段与抛物线上 ，∴设
分别过点，作，，垂足分别为、，则
∴ 即 ∴ （1分）
又∵， ∴ ∴
∴ （1分）
∵
∴ ∴ （1分）
25． （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
解：（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴
∴ ∴ ∴ （1分）
在中，，， ， ∴，
∴在中，， （1分）
在中，，
∵ ∴ （1分）
∴ （ 1分）
（2）过点作，垂足为点
在中，，， ，
∴ ，
∴在中，， （1分）
在中，，
∴ （1分）
∴ （1分）
由（1）知， ，
∴ （ 2+1分）
（3） 或 （ 2+2分）

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