初中数学动点问题专题复习及答案.doc

初中数学动点问题练习题
1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
1、线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

2、如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
A
D
C
B
M
N

（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．

O
M
A
N
B
C
y
x
3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，
并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？
若有最小值，最小值是多少？
(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？
若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

4、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
A
P
C
Q
B
D

5、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
O
A
B
C
P
x
y
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值；
(2)求直线BC的解析式；
(3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。
①当0＜t≤时，试求出m的取值范围；
②当t＞时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？

6、在中，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设的面积为，求与月份的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当为何值时，为直角三角形。

7（杭州）在直角梯形中，，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。
（1）分别求出梯形中的长度；
（2）写出图3中两点的坐标；
（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。
（图3）

（图2）
（图1）

8、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且．动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．在轴上取两点作等边．
（1）求直线的解析式；
（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；
（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．

（图1）

（图2）

9、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x=时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；

10、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.
（1）当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值；使得重叠部分的面积等于原面积的？若不存在，请说明理由.

图1
图3
图2

1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？

2. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时
出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？

3. 如图，在等腰梯形中，∥，,AB=12 cm,CD=6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm的速度移动，点从开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。
（1）求证：当t=时，四边形是平行四边形；
A
B
C
D
Q
P
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

4. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交的平分线于点E，交的外角平分线于F。
（1）求让：；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且=，求的大小。

5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，求重叠部分⊿AFC的面积.

6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？

7. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G.
⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
（1）NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|
（2）若t时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样（1）
NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|
（2）
若t时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样的t。t。
9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）

10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（2005•宁德）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，ÐB=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ym2．
（1）求AD的长及t的取值范围；
（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、ÐB=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示∴AB∥DE ∴四边形ABED为矩形， ∴DE=AB=12cm
在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm
∴EC=5cm
∴AD=BE=BC-=EC=3cm（2分）
点P从出发到点C共需=8（秒），
点Q从出发到点C共需=8秒（3分），
又∵t≥0，
∴0≤t≤8（4分）；
（2）当t=1.5（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分）
∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上
∴PC=16-2t
过点P作PM⊥BC于M，如图所示
∴PM∥DE
∴=即=
∴PM=（16-2t）（7分）
又∵BQ=t
∴y=BQ•PM
=t•（16-2t）
=-t2+t（3分），
（3）当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）
注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）
③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）

答案
1.解:(1)作CH垂直AB于H,则AH=AB/2=2,CH=√(AC²-AH²)=2√3.
当MN在移动过程中,点M与N在CH两侧,MH=NH时,根据对称性可知,四边形MNQP为矩形.
∴MH=NH=MN/2=0.5,AM=AH-MH=2-0.5=1.5,即t=1.5时,四边形MNQP为矩形.
PM⊥AB,CH⊥AB,则PM∥CH,⊿APM∽⊿ACH,PM/CH=AM/AH.
即PM/(2√3)=1.5/2,PM=3√3/2.四边形MNQP的面积为:PM*MN=(3√3/2)*1=(3√3)/2.
(2)①当0≤t≤1时,PM/CH=AM/AH,PM/(2√3)=t/2,PM=√3t;
QN/CH=AN/AH,QN/(2√3)=(t+1)/2,QN=√3t+√3.
∴S=(PM+QN)*MN/2=(2√3t+√3)*1/2=√3t+√3/2.
②当1<t<2时,同理可求:PM=√3t,QN=3√3-√3t.
∴S=(PM+QN)*MN/2=(3√3)*1/2=(3√3)/2.
③当2≤t≤3时,同理可求:PM=4√3-√3t,QN=3√3-√3t.
∴S=(PM+QN)*MN/2=(7√3-2√3t)*1/2=(7√3)/2-√3t.
2.(1) BC=4+3+3=10

(2) CM=10-2T，CN=T
sin∠C=4/5，cos∠C=3/5
由于MN//AB，∠NMC=45°
sin∠MNC=sin(180-∠C-∠NMC)
=sin(∠C+∠NMC)
=sin∠Ccos∠NMC+sin∠NMCcos∠C
=(4/5)(√2/2)+(√2/2)(3/5)
=7√2/10
再由正弦定理：
CN/sin∠NMC=CM/sin∠MNC
T/(√2/2)=(10-2T)/(7√2/10)
T=70/19

(3) MNC为等腰三角形，有三种情况：
i.∠C=∠NMC
此时，∠MNC=180-2∠C
sin∠MNC=sin(2∠C)=2sin∠Ccos∠C=24/25
CM/sin∠MNC=CN/sin∠C
(10-2T)/(24/25)=T/(4/5)
T=25/7

ii.∠C=∠MNC
同理，得：
(10-2T)/(4/5)=T/(24/25)
T=60/17

iii.∠MNC=∠NMC
此时，CM=CN
10-2T=T
T=10/3
3.求线段AB的长可通过构建直角三角形进行求解．过B作BD⊥OA于D，那么AD=3，BD=4，根据勾股定理即可求出AB的长．
如果MN∥OC，那么△AMN∽△ABD，可的关于AN，AB，AM，AD的比例关系，其中AN=t，AM=6-t，AD=3，AB=5，由此可求出t的值．
（2）由于三角形CMN的面积无法直接求出，因此可用其他图形的面积的“和，差”关系来求．△CMN的面积=梯形AOCB的面积-△OCM的面积-△AMN的面积-△CBN的面积．
可据此来得出S，t的函数关系式．然后根据函数的性质即可得出S的最小值．
（3）易得△NME∽△ACO，利用相似三角形的对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t的值．

解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，
则四边形CODB是矩形，
BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3．
在Rt△ABD中，AB=32+42=5．
当MN∥OC时，MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，AN/AB=AM/ AD．
∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，
∴t5=6-t3，
即t=154（秒）．

（2） 过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，
∵NE∥BD，
∴△AEN∽△ADB，EN/DB=AN/AB．
即EN4=t5，EN=45t．
∵EF=CO=4，
∴FN=4-45t．
∵S=S梯形OABC-S△COM-S△MNA-S△CBN，
∴S=12CO（OA+CB）-12CO•OM-12AM•EN-12CB•FN，
=12×4×（6+3）-12×4t-12×（6-t）×45t-12×3×（4-45t）．
即S=25t2-165t+12（0≤t≤5）．
由S=25t2-165t+12，
得S=25（t-4）2+285．
∴当t=4时，S有最小值，且S最小=285．

（3）设存在点P使MN⊥AC于点P
由（2）得AE=35t NE=45t
∴ME=AM-AE=6-t-35t=6-85t，
∵∠MPA=90°，
∴∠PMA+∠PAM=90°，
∵∠PAM+∠OCA=90°，
∴∠PMA=∠OCA，
∴△NME∽△ACO
∴NE：OA=ME：OC
∴45t6=6-85t4
解得t=4516
∴存在这样的t，且t=4516．

（3）
（4）
（5）
（6） 4.(1)窗体顶端
PC=12-3t CQ=4t
S△PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t² 0<=t<=4
SPCQD=48t-12t² 0<=t<=4
(2)PQ//AB CP:CA=CQ:CB 即（12-3t）:4t=3:4 t=2

窗体底端
窗体顶端
<3>存在，t=12/11。
设在时刻t，PD//AB，延长QD交AB于E，过P作PF⊥AB（如图1，下面只给出计算，证明过程略）。
∵△APF∽△ABC
∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5
PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t
△PDQ≌△PCQ，DEFP为矩形
QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t
∵△QBE∽△ABC
∴QE/QB=AC/AB
即6.4t/（16-4t）=3/5
t=12/11
<4>存在，t=36/13，2＜t≤3。
设在时刻t，PD⊥AB，延长PD交AB于F，过Q作QE⊥AB（如图2，下面只给出计算，证明过程略）。
同<1>PF=2.4t
∵△QBE∽△ABC
∴QE/QB=AC/AB
即QE=QB*AC/AB=（16-4t）*3/5
△PDQ≌△PCQ，DFEP为矩形
PD=PC=（12-3t）
DF=QE=（16-4t）*3/5
PF=PD+DF=PC+QE=（12-3t）+（16-4t）*3/5=2.4t
t=36/13。1）PC=12-3t CQ=4t
S△PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t² 0<=t<=4
SPCQD=48t-12t² 0<=t<=4
(2)PQ//AB CP:CA=CQ:CB 即（12-3t）:4t=3:4 t=2

回答者:teacher024

<3>存在，t=12/11。
设在时刻t，PD//AB，延长QD交AB于E，过P作PF⊥AB（如图1，下面只给出计算，证明过程略）。
∵△APF∽△ABC
∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5
PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t
△PDQ≌△PCQ，DEFP为矩形
QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t
∵△QBE∽△ABC
∴QE/QB=AC/AB
即6.4t/（16-4t）=3/5
t=12/11
<4>存在，t=36/13，2＜t≤3。
设在时刻t，PD⊥AB，延长PD交AB于F，过Q作QE⊥AB（如图2，下面只给出计算，证明过程略）。
同<1>PF=2.4t
∵△QBE∽△ABC
∴QE/QB=AC/AB
即QE=QB*AC/AB=（16-4t）*3/5
△PDQ≌△PCQ，DFEP为矩形
PD=PC=（12-3t）
DF=QE=（16-4t）*3/5
PF=PD+DF=PC+QE=（12-3t）+（16-4t）*3/5=2.4t
t=36/13。
5.（1）如图①，过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，
∵BC为∠ABO的平分线，
∴PH=PD，
∴S1：S2=AB：OB，
又∵OA、OB的长是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），
解方程得：x1=8，x2=6，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S1：S2=AB：OB=5：3；
（2）过C点作CK⊥AB，垂足为K，
∴OC=CK，
∴S△AOB=OC（OB+AB）=8OC=24，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∴y=-2x+6；

（3）①当O、P、E三点共线时，（P在OE与BC交点时）有S△AOP=S△AEP，
过E点作EG⊥OA，垂足为G，
∵OE⊥BC，BC平分∠ABO，
∴P是OE的中点，
∴PF是△OEG的中位线，
∵△AGE∽△AOB，

∴EG=，yP=，
把yP=，代入y=-2x+6中，求得xP=，
∴P1（）；
②当PA∥OE时，有S△AOP=S△AEP，
∴P2（4，-2）．
或用代数方法：设E点坐标为（x，y），根据勾股定理求出，
再将代入y=-2x+6，同样求出P1（）、P2（4，-2）．

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