高考数学精准备考一轮(实用课件+精致讲义)——第十六单元概率.doc

第十六单元 概率
教材复习课“概率”相关基础知识一课过

互斥事件与对立事件
[过双基]
事件
定义
性质
互斥事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，(事件A，B是互斥事件)；
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(事件A1，A2，…，An任意两个互斥)
对立事件
在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件
P()＝1－P(A)

1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件　　　　　　 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
解析：选B　由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选B.
2．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一件是正品(甲级品)的概率为(　　)
A．0.92 B．0.95
C．0.97 D．0.08
解析：选A　记事件A：“生产的产品为甲级品”，B：“生产的产品为乙级品”，C：“生产的产品为丙级品”，则P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A，B，C两两互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92.
[清易错]
易忽视互斥事件与对立事件的关系而致误
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D　由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．

古典概型
[过双基]
1．特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式：
P(A)＝.

1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.
2．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　从这5张卡片中随机抽取2张的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中取出2张卡片上数字之和为偶数的基本事件为(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以从这5张卡片中随机抽取2张，取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为＝.
3．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题可得，满足要求的所有基本事件数为6×9＝54，第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的基本事件数为6×5＝30.所以由古典概型可知，P＝＝.
[清易错]
1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
1．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意知，摸出2个球的事件数共15个，至少有1个是红球的对立事件为两个均不是红球，事件个数为6个，设两个均不是红球为事件A，则P(A)＝＝，所以其对立事件2个球中至少有1个是红球的概率P＝1－＝.
2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
解析：∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.
答案：

几何概型
[过双基]
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．特点：
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能的．
3．公式：
P(A)＝.

1．在区间上随机地取一个数x，则事件“－1≤log(x＋1)≤1”不发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为－1≤log(x＋1)≤1，所以－≤x≤2，所以所求事件的概率为1－＝.
2．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝.
3．(2018·西宁复习检测)已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．
解析：由题意知球的半径为1，其体积为V球＝，正方体的体积为V正方体＝23＝8，
则这一点不在球内的概率P＝1－＝1－.
答案：1－
4．数轴上有四个间隔为1的点依次为A，B，C，D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B，C两点的距离之和小于2的概率为________．
解析：如图，数轴上AD＝3，而到B，C两点的距离之和小于2的点E在线段MN内，且MN＝－＝2，所以E点到B，C两点的距离之和小于2的概率P＝＝.

答案：

一、选择题
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．至少有1个白球，都是红球
B．至少有1个白球，至多有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至多有1个白球，都是红球
解析：选C　从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，“至少有1个白球”和“至多有1个红球”不互斥，“恰有1个白球”和“恰有2个白球”互斥不对立，故选C.
2．一批产品次品率为4%，正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为(　　)
A．0.75　　　　　　　　 B．0.71
C．0.72 D．0.3
解析：选C　由题意可知，正品率为96%，
因为正品中一等品率为75%，
所以一等品率为96%×75%＝72%，
所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为0.72.
3．如图，在一不规则区域内，有一边长为1 m的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为(　　)
A.m2 B．2 m2
C.m2 D．3 m2
解析：选A　由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到＝，所以该不规则图形的面积大约为＝ (m2)．
4．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，其中点数之积为6的情况为(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4种情况，故所求概率为P＝＝.
5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　依题意，小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正方体内，这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为33＝27，故根据几何概型得安全飞行的概率为P＝.
6．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.8
C．0.6 D．1
解析：选C　标记5件产品中的次品为1,2，合格品为3,4,5.从这5件产品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的总数为10.“从这5件产品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6种取法，所以恰有一件次品的概率P＝＝0.6.
7．将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　将一枚骰子连续抛掷两次共有36种结果．方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P＝.
8．设实数x，y满足x2＋(y－1)2≤1，则x－y＋2≤0的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　如图，x2＋(y－1)2≤1表示圆心为(0,1)，半径为1的圆面，面积为π；同时，x－y＋2≤0表示圆面内在x－y＋2＝0左上方的点构成的平面区域，连接CB，则CA⊥CB，阴影部分的面积为－×1×1＝－，由几何概型的概率公式得P＝.
二、填空题
9．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：如图，可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.
答案：
10．在圆x2＋y2＝4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则|x|＋|y|≤2的概率为________．
解析：不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则|x|＋|y|≤2的概率为P＝＝.
答案：
11．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为________．
解析：画树状图为：
红红白　红白红　白红红
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，则随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为.
答案：
12．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班的男生人数为________．
解析：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故这个班的男生人数为33.
答案：33
三、解答题
13．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由题意知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计相应的概率约为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，由调查结果得：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1

(3)A1，A2分别表示甲选择L1，L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1，L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.
14．在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有＝40(人)，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.
(2)由图知，“数学与逻辑”科目的成绩为D的频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.
(3)因为两科考试中，共有6个得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝.高考研究课(一)
古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
古典概型
5年4考
求古典概型的概率

古典概型的简单问题
[典例]　(1)有五条长度分别为1,3,5,7,9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C. D.
(2)(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解]　(1)由题意，从这五条线段中任取三条，有10种不同的取法，其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3种不同的取法，所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为.
答案：B
(2)①由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．
则所求事件的概率为P＝＝.
②从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
[方法技巧]
计算古典概型的概率可分三步：
(1)算出基本事件的总个数n；
(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；
(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树状图法．　　
[即时演练]
1．袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析：从袋中一次摸出两个球，总的事件个数为6.摸出两个相同颜色球只有两个黄球，所以2只球颜色相同的概率为，所以这2只球颜色不同的概率为1－＝.
答案：
2．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

(1)根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
(2)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s，s，试比较s与s的大小(只需直接写出结果)；
(3)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．(注：成绩大于等于75分为优良)．
解：(1)设这10名同学中男、女生的平均成绩分别为1，2.
则1＝＝73.75，
2＝＝76，
故该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76.
(2)s<s.
(3)设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，
男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，
女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，
则从10名学生中随机选取一男一女两名同学的取法有：
(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a1，b5)，(a1，b6)，
(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(a2，b5)，(a2，b6)，
(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a3，b5)，(a3，b6)，
(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a4，b4)，(a4，b5)，(a4，b6)，
共24种．
其中两名同学均为优良的取法有：
(a2，b3)，(a2，b4)，(a2，b5)，(a2，b6)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a3，b5)，(a3，b6)，(a4，b3)，(a4，b4)，(a4，b5)，(a4，b6)，共12种，
所以P(A)＝＝，即两名同学成绩均为优良的概率为.

古典概型的交汇命题问题　　　　　
古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高.
常见的命题角度有：
(1)古典概型与平面向量相结合；
(2)古典概型与直线、圆相结合；
(3)古典概型与函数相结合；
(4)古典概型与统计相结合.
角度一：古典概型与平面向量相结合
1．(2018·威海调研)从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况，
故所求的概率为.
角度二：古典概型与直线、圆相结合
2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为________．
解析：∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6＝36种结果，
满足条件的事件是以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上，
则(x，y)为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共有3种结果，
∴根据古典概型的概率公式得以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率P＝＝.
答案：
角度三：古典概型与函数相结合
3．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：(1)由题意知，总的基本事件的个数是3×5＝15.
∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a时．
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1,1；
若a＝3，则b＝－1,1.
∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，
∴所求事件的概率P＝＝.

(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，即△OAB部分；构成所求事件的区域为△OAC部分．
由得交点坐标C，
∴由几何概型概率公式得所求事件的概率
P＝＝.
角度四：古典概型与统计相结合
4．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：
[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.
[方法技巧]
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．　　

1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝.
2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
3．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.
4．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝＝.
答案：
5．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

一、选择题
1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝.
2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x，y)，共有6×6＝36个，记两次点数之积为奇数的事件为A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P(A)＝＝.
3．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A，B入住同一标间的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　记A，B入住同一标间的概率为P，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有A＝90种不同的方法，A，B入住同一标间有CA＝18种不同的方法，∴P＝＝.
4．(2018·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n＝24＝16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P＝1－－＝.
6．a，b，c，d，e是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(不允许重复)，则abc＋de为奇数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意可得a，b，c，d，e是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10组，其中能使abc＋de为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4组，所以abc＋de为奇数的概率P＝＝.
7．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a，b，则<|b－a2|<6－a成立的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意知(a，b)的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，设“<|b－a2|<6－a成立”为事件A，则事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7种，故P(A)＝.
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，
要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，
即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.
又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，
故所求的概率P＝＝.
二、填空题
9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．
解析：由任何三点不共线，则共有C＝56个三角形，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率P＝＝.
答案：
10．从－1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a，则使曲线y＝的图象在第一、三象限，且满足不等式组无解的概率为________．
解析：曲线y＝的图象在第一、三象限，且满足不等式组无解，即7－3a>0且a≤3，所以a<，所以a可取－1,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝.
答案：
11．从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为________．
解析：当方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，所以方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，m＞0，n＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4种，所以所求概率P＝.
答案：
12．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P(a，b)