人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结.doc

数学选修2-1圆锥曲线知识归纳
一、 复习总结：

名 称
椭 圆
双 曲 线

图 象

定 义

平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时，轨迹是椭圆
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在

标 准
方 程

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
常数的关 系

，
渐 近 线

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

抛物线：
图
形

方程

焦点

准线

二、 知识点：
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：， （）
3．椭圆的性质：由椭圆方程()
(1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距．
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
椭圆共有四个顶点： ，加两焦共有六个特殊点 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为.分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例．（识记方法）

以下4-7点要求不高，或者不要求.
4. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
5．椭圆的准线方程
对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
6.椭圆的焦半径公式：椭圆焦半径公式:
，
其中是离心率 其中分别是椭圆左右焦点．
焦点在轴上的椭圆的焦半径公式：

其中是离心率 其中分别是椭圆的下上焦点．
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加
7椭圆的参数方程

以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解4、5）
1.准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：.
2. 椭圆两焦半径与焦距构成三角形的面积:
．
3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c，当静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线l击出，经椭圆壁反弹后再回到A，若l与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是(   D )
A.4b              B.2(a-c)               C.2(a+c)             D.4a
4.椭圆的的内外部:
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
5.椭圆的切线方程:
(1) 椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）椭圆与直线相切的条件是
.

8．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
9．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
(2)有关系式成立，且
其中与的大小关系:可以为
10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
11．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a，x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.
（2）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为, 叫做半实轴长 虚轴：长为，叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
12．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
13．共渐近线的双曲线系
如果双曲线与有公共渐近线，可设为

以下14-17点要求不高，或者不要求.
14．双曲线的第二定义：
到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率．
15．双曲线的准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线
16.双曲线的焦半径（了解）
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式： （分别是左、右焦点）
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （分别是下、上焦点）
17．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：

18．双曲线的重要结论：(识记（1）-（4）点，了解（5）点)
（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)．
（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.
（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积.
（4）焦点到渐近线的距离总是.
（5）双曲线的切线方程:
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.

19 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
20．抛物线的准线方程：
(1), 焦点:，准线：
(2), 焦点:，准线：
(3), 焦点:，准线：
(4) , 焦点:，准线：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
21．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
22抛物线的焦半径公式：（画图即可）
抛物线，
抛物线，
抛物线，
抛物线，
23．直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
将代入，消去y，得到
关于x的二次方程 （*）
若，相交；，相切；，相离
综上，得：
联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）
当，则
若，两个公共点（交点）
，一个公共点（切点）
，无公共点 （相离）
（2）相交弦长：
弦长公式：，
（3）焦点弦公式：
抛物线， （识记）
抛物线，
抛物线，
抛物线，
（4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：
通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦．
（5）若已知过焦点的直线倾斜角（识记这条结论）
则

（6）常用结论：
和
和
（7） 若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
（8） 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，则．
24．抛物线的参数方程：（t为参数）
25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：
设 为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：

推导：
11