高考复习-函数及其性质知识点+基础方法.doc

函数·知识点+基础方法
一、函数的概念：
1. 函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
2.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

二、定义域的求法：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5) 指数为零，底不可以等于零；
(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

三、值域的求法:
1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：
(1)求常见函数值域；
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；
(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
2.函数值域的常用方法：
(1)观察法：
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
(2)配方法：
(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。
(3)换元法：
代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。
(4)分离常数法：
对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。
(5)判别式法：
若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。
(6)最值法：
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y的值域。
四、解析式的求法：
1. 待定系数法：
已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。
2. 函数性质法：
　　如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。
3. 图象变换法：
　　若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。
4. 换元法：
5. 配凑法：
6. 赋值（式）法：

五、函数图象：
1.定义：
在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
2.画法：
（1）描点法：
（2）图象变换法：
常用变换方法有三种： 平移变换、伸缩变换、对称变换
3.区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．

六、函数的单调性：
1. 定义：
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质
2. 图象的特点：
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
3. 函数单调区间与单调性的判定方法：
(1)定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(2)图象法(从图象上看升降)
(3)导数法（导数大于0，在对应区间递增；导数小于0，在区间递减）
4.函数单调性的常用结论：（复合函数单调性）
(1)若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数；
(2)若为增（减）函数，则为减（增）函数；
(3)若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数；其规律：“同增异减”
(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；
(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象；
(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。

七、函数的奇偶性：
1. 定义：
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
2. 具有奇偶性的函数的图象的特征:
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
3. 判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

八、函数的周期性：
1．定义：
一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期。
2．函数周期性的性质：
（1）对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A。
（2）对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。
（3）对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。

九、二次函数：
1. 一般式：
2. 顶点式：
3. 零点式：
十、反比例函数：
形如的函数
十一、“对号”函数：
形如的函数
1. 一般地，对于函数．
（１）当时，函数在及上为增函数，在及上为减函数．函数的值域是．
（２）当时，函数在及上都是增函数，值域为．

十二、指数函数：
1. 根式的概念：
①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．
②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．
2. 根式的性质：
①；
②当为奇数时，；
当为偶数时，
3. 分数指数幂的概念：
①规定：1） ； 2）；
n个
3）
②正数的正分数指数幂的意义是：且
0的正分数指数幂等于0
③正数的负分数指数幂的意义是：且
0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
4. 分数指数幂的运算性质：
① ②
③ （注）上述性质对r、R均适用。
5. 指数函数：
函数名称
0
1
0
1
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化
对图象
的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低

十三、对数函数：
1. 对数：
①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数
1）以10为底的对数称常用对数，记作；
2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）；
2）对数恒等式：，，，
3）对数式与指数式的互化：
③运算性质：
如果，那么
1）加法：
2）减法：
3）数乘：
4）换底公式：；
；
2. 对数函数：
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化
对图象
的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高
十四、幂函数：
1. 幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
2. 幂函数的图象

3. 幂函数的性质
①图象分布：
幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：
所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点
③单调性：
如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：
当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：
幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
十五、反函数：
1. 定义：
一般地，对于函数，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值，在D中总有惟一确定的值与它对应，使，这样得到关于的函数叫函数的反函数。记作。习惯上，把它改写为。
2. 求反函数的基本步骤：
（1）求值域：求原函数的值域
（2）反解：视y为常量，从中解出唯一表达式，
（3）对换：将与互换，得，并注明定义域。
3. 反函数与原函数的关系：
（1）的定义域、值域分别为的值域、定义域。
（2）若存在反函数，且为奇函数，则也为奇函数。
（3）若为单调函数，则同有相同的单调性。
（4）和在同一直角坐标系中，图像关于对称。
4. 存在反函数的条件是：函数为单调函数（或一一对应）
十六、恒成立问题与存在性问题：

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