高三数学理科模拟试题.doc

模拟训练1（理科）

第I卷（选择题）

评卷人
得分

一、选择题（题型注释）
1．设集合，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2．复数（ ）
A. B. C. D.
3．如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）

A. B. C. D.
4．函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5．已知，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6．数列的首项为，为等差数列且.若，，则（ ）
A. B. C. D.
7．如图所示，直线垂直于⊙所在的平面，内接于⊙，且为⊙的直径，点为线段的中点.现有结论：①；②平面；③点到平面的距离等于线段的长.其中正确的是（ ）

A.①② B.①②③ C.① D.②③
8．已知、是圆上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

评卷人
得分

二、填空题
9．某社区有个家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，低收入家庭户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 .
10．一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为________________.

11．曲线在点处的切线方程为________________.
12．下列命题中所有真命题的序号是________________.
①“”是“”的充分条件；
②“”是“”的必要条件；
③“”是“”的充要条件.
13．在中，，，，则的值为______________.
14．已知数列的前项和为，且，则______________.

评卷人
得分

三、解答题
15．设，其中，曲线在点处的切线垂直于轴.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
16．如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.

（1）证明：平面；
（2）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长.
17．已知向量，，函数.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数的图象.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求 的值.
18．在三棱锥中，侧棱长均为，底边，，，、分别为、的中点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角.
19．已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：.
20．已知函数，.
（1）若，是否存在、，使为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
（2）若，，求在上的单调区间；
（3）已知，对，，有成立，求的取值范围.

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参考答案
1．D
【解析】
试题分析：，，所以，故，选D.
考点：集合的基本运算
2．A
【解析】
试题分析：，选A.
考点：复数的乘法运算
3．A
【解析】
试题分析：第一次循环，，，不成立；
第二次循环，，，不成立；
第三次循环，，，不成立；……
第七次循环，，，成立，跳出循环体，输出，故选A.
考点：算法与程序框图
4．A
【解析】
试题分析：由题意知，函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为
，故选A.
考点：1.分段函数；2.定积分
5．C
【解析】
试题分析：，平方得，
，所以，选C.
考点：平面向量的数量积
6．B
【解析】
试题分析：设等差数列的公差为，则，，
，所以
，选B.
考点：累加法求数列通项
7．B
【解析】
试题分析：对于结论①，由于是以为直径的圆上一点，所以，因为平面，于是可以得到，结合直线与平面垂直的判定定理可以得到平面，因此，所以结论①正确；对于结论②，由于、分别为、的中点，由中位线原理可知，利用直线与平面平行的判定定理可以得到平面，所以结论②正确；对于结论③，由结论①知，平面，所以结论③正确，故选B.
考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行
8．C
【解析】
试题分析：，故当时，的面积取最大值，，故为等腰三角形，且，由于点在线段上，则存在，使得，，
，故当时，取最大值.
考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的线性表示；3.二次函数的最值
9．.
【解析】
试题分析：设在中等收入家庭应抽取的户数为，则.
考点：分层抽样
10．.
【解析】
试题分析：由三视图知，该几何体是一个球体中切去部分所形成的几何体，该几何体的表面由两个球的大圆的一半和原来球的表面的组成，故该几何体的表面积.
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积
11．或.
【解析】
试题分析：，所以，当时，，故曲线在点处的切线方程为，即或.
考点：1.复合函数的导数；2.利用导数求函数的切线方程
12．②③
【解析】
试题分析：对于命题①，取，，则，且，，则“”不是“”的充分条件；对于命题②，由，可得，故有，故“”是“”的必要条件，命题②正确；对于命题③，在不等式两边同时加上得，另一方面，在不等式两边同时减去得，故“”是“”的充要条件，命题③正确，故真命题的序号是②③.
考点：1.不等式的性质；2.充分必要条件
13．.
【解析】
试题分析：由余弦定理得，即，整理得
，由于，解得，由正弦定理得.
考点：1.余弦定理；2.正弦定理
14．.
【解析】
试题分析：由题意知，
所以，
下式减上式得
.
考点：错位相减求和
15．（1）；（2）在处取得极大值.
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，将题中的条件“曲线在点处的切线垂直于轴”转化得到，从而求出参数的值；（2）在（1）的基础上求出函数的解析式，利用导数求出函数的极值即可.
试题解析：（1）， ，
由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，
；
（2）由（1）知，，，
令，故在上为增函数；
令，故在上为减函数；
故在处取得极大值.
考点：1.导数的几何意义；2.函数的极值
16．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）先利用三视图将几何体进行还原，证明平面，要证明垂直于平面内的两条相交直线，由正视图可以知道为等腰三角形，且为底边的中点，利用三线合一可以得到，再利用，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得到，最终利用直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）注意到点为的中点，因此可以以、为邻边构造平行四边形，连接交于点，利用中位线证明
，再结合直线与平面平行的判定定理可以得到平面，最终利用勾股定理求的长度.
试题解析：（1）因为平面，所以，
又，所以平面，所以．
由三视图得，在中，，为中点，所以，平面；

（2）取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求．
因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
连接、，四边形的对角线互相平分，
所以为平行四边形，所以，
又平面，所以在直角中，．
考点：1.直线与平面垂直；2直线与平面平行；3.勾股定理
17．（1）函数的单调递增区间为；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先利用平面向量数量积的运算求出函数的解析式，结合辅助角公式将函数的解析式化简为，在，的前提下，解不等式
得到函数的单调递增区间；（2）先利用得到的值，然后利用函数图象变换求出函数的解析式，并利用二倍角公式求出的值.
试题解析：（1），
，
解得：，所以的单调递增区间为；
（2），由（1）得，，
，将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横
坐标先缩短到原来的，得： ，
再向左平移个单位，，
得
.
考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的单调区间；3.三角函数图象变换；4.二倍角公式
18．（1）三棱锥的体积为；（2）二面角的平面角的大小为.
【解析】
试题分析：（1）由于三棱锥的侧棱长都相等，可以得到点在平面内的射影点为的外心，而由于的三条底边满足勾股定理，可知为直角三角形的斜边，从而可以知道的中点即为直角三角形的外心，然后利用勾股定理求出，并且计算出直角三角形的面积，最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积；（2）解法一是在（1）中的基础上，利用平面，得到平面平面，然后在平面内作于点，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而得到，再从点在平面内作于点，并连接，利用三垂线法得到为二面角的平面角，最后在直角三角形中计算的大小；解法二是以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角
的平面角的大小.
试题解析：（1）取的中点，连接，
易得：，，
,
.
.
又 平面，

（2）法一：作⊥，⊥于点，连接
平面,平面,

又 平面.
∵， ∴
又 平面，
∵，∴，
∴为二面角的平面角.
∵,,
由（Ⅰ）知，.
∴，
∴,∴，
法二：以为原点，以为轴建系，则，，
设为平面的法向量，则有
，
∴
又∵为平面的法向量，
∴,二面角的平面角为.
考点：1.三棱锥的体积；2.三垂线法求二面角；3.利用空间向量法求二面角
19．（1）；（2）；（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）解法一是根据数列递推式的结构选择累加法求数列的通项公式；解法二是在数列的递推式两边同时除以，然后利用待定系数法求数列的通项公式，进而求出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，然后根据数列的通项结构，选择裂项相消法求数列的前项和；（3）对数列中的项利用放缩法
，然后利用累加法即可证明所要证的不等式.
试题解析：（1）法一：，

法二：

（2）

（3）证明：，
.
考点：1.累加法求数列的通项公式；2.待定系数法求数列的通项公式；3.裂项相消法求数列的和；
4.利用放缩法证明数列不等式
20．（1）存在，如，；（2）函数的增区间为，减区间为；
（3）实数的取值范围是.
【解析】
试题分析：（1）直接举例并利用定义进行验证即可；（2）将，代入函数的解析式，去绝对值符号，将函数的解析式利用分段函数的形式表示出来，然后利用导数求出函数在相应区间上的单调区间；（3）先将绝对值符号去掉，得到，并根据题中的意思将问题转化为，然后利用导数进行求解，从而求出参数的取值范围.
试题解析：（1）存在使为偶函数，证明如下：
此时：， ，为偶函数，
（注：也可以
（2），
当时，，在上为增函数，
当时，，令则，
当时，在上为减函数，
当时，在上为增函数，
综上所述：的增区间为，减区间为；
（3），
，成立。
即：
当时，为增函数或常数函数，

综上所述：.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调区间；3.全称命题与特称命题
答案第9页，总10页