初二数学期末专题复习之几何部分——菱形(教师版).doc

初二数学期末专题复习之——菱形
一、知识点梳理
（一）四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
2、凸四边形
把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。
3、对角线
在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
4、四边形的不稳定性
三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。
5、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、多边形的对角线条数的计算公式
设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。
（二）平行四边形
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
（4）两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．
注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．

5、平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah

（三）矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
注：用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．
②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．
4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab

（四）菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．
②利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算．
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
菱形的计算转化为_____________三角形

（五）正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：

2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
判定一： 一组邻边相等的矩形是正方形；
判定二：一个角是直角的菱形是正方形．
判定三：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
判定四：即是矩形又是菱形的四边形是正方形。
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）
4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
S正方形=

（六）梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形 直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
4、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
5、梯形的面积
（1）（上底+下底）高
（2）梯形中位线高

（3） 一腰中点到对腰的距离乘以此对腰的长=（如右图）

（4） 如右图（现记住结论就行了）

（2）梯形中有关图形的面积：
①；
②；
③
6、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

7、解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
梯形的常见辅助线的添加方法：作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化（当然不要忘了根据条件灵活添加辅助线）。通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．

①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．
③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形．④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．
综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现．
（七）各个四边形之间的关系
（1）知识框架

8、中心对称图形

（2）几种特殊四边形的性质

边
角
对角线
平行
四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
菱形
对边平行
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形
对边平行
四边相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
（3）几种特殊四边形的常用判定方法
平行
四边形
（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
矩形
（1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；
（3）是平行四边形且两条对角线相等。
菱形
（1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；
（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。
正方形
（1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。
（八）中心对称图形
(1）把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（中心对称）；
(2)把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
性质： (1)关于中心对称的两个图形是全等形；
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；
(3)如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
注： (1)以下图形是中心对称图形：直线、线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
(2)以下图形不是中心对称图形：射线、角、三角形、等边三角形、等腰三角形等。
(3)特别注意：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形。
对比轴对称图形与中心对称图形：
轴对称图形
中心对称图形
有一条对称轴——直线
有一个对称中心——点
沿对称轴对折
绕对称中心旋转180O
对折后与原图形重合
旋转后与原图形重合
（九）主要思想方法小结
1、转化思想（又叫化归思想）
转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：
（1） 四边形问题转化为三角形问题来处理．
（2） 梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．
2、代数法（计算法）
代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．
3、变换思想
即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题．
（十）应注意的几个问题
1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．
2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．
3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清．
4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．
5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结．
（十一）几何证明思路

。
（十三）做辅助线法则

二、考点及题型
考点1 与菱形有关的计算问题
1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．4 B．4
C．4 D．28

解析　有三角形的中位线的性质可得AC＝2EF＝2，再由菱形的性质可得OA＝，BO＝2，所以AB＝＝，所以周长＝4AB＝4.
2．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（　　）

A． B． C．12 D．24
【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
【解答】解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，
由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，
即5DH=×8×6，解得DH=．故选A．

3、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6

解析　连结EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AEO，得到AO＝CO，求出AO＝AC＝2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．

4、如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是________．

解析　因为G是CD的中点，所以DG＝CG＝4.在△DGE与△CGF中，所以△DGE≌△CGF.所以CF＝DE，FG＝EG.令BC＝AD＝x，则CF＝DE＝x－4，所以BF＝2x－4，在Rt△DGE中，根据勾股定理可得EG＝＝.又因为HF垂直平分BE，所以EF＝BF，BF2＝(2EG)2，所以(2x－4)2＝4[(x－4)2＋42]，解得x＝7，故答案为7.
训练1 训练2 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连接EG，FG，若AE=DE，则=________．

【逐步提示】设出菱形的边长，根据题意确定菱形中各线段的长度，连接EF，通过勾股定理确定EG的长，最后求得比值．
【解析】因为DG=BD，所以AB=AD=CB=CD=BD，所以∠ABD=60°，又BE⊥AD，，所以∠EBD=30°，连接EF，交DB于H，则EH=，DH=，HG=，由勾股定理得EG=，所以=．

【解后反思】题目当中没有数据，设出线段的长度可利于题目的计算，线段的长度的确定以利用以利于计算为标准，构造辅助线是解题的关键．
训练2 如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，则＝________．

解析　作EH⊥AB于H，由对称性知，图形关于AF对称，
∴∠BAE＝∠DAG＝(∠BAD－∠EAG)＝30°，∠B＝180°－∠BAD＝45°.在Rt△BHE中，∠B＝∠BEH＝45°，设BH＝x，则EH＝BH＝x，在Rt△EHA中，∠BAE＝30°，则AE＝2HE＝2x，AH＝＝＝x.∴AB＝BH＋AH＝x＋x，故＝＝.

5、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．

解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，∴，即。
解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。
∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。
∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。
考点2 线段的最值问题
1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( B )
A． 1 B． C． 2 D．＋1

【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝．
这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．

图4-2 图4-3 图4-4

训练1 如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC＋PE的最小值是 5

训练2 在菱形ABCD中，AB=2，∠ADC=120°，M是AB的中点，P为对角线BD上的一动点，在运动过程中，记AP+MP的最大值为S,最小值为T，则的值为

训练3 如图，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,则长度的最小值是___-1____.

2、如图9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．

图9-1
【解析】如图9-2，设AF的中点为D，那么DA＝DE＝DF．所以AF的最小值取决于DE的最小值．
如图9-3，当DE⊥BC时，DE最小．设DA＝DE＝m，此时DB＝．
由AB＝DA＋DB，得．解得．此时AF＝．

图9-2 图9-3
方法小结：
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．
三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．

图1 图2 图3
注：解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便．
考点3 菱形的证明
1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

训练 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；
（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，
在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG（AAS）；
（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF，如图所示：
由（1）得：BFH≌△DEG，∴FH=EG，又∵EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，
∵BF=DF，OB=OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形．

考点4 图形的平移和旋转（与三角形的综合）
1、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．

（1）补全的图形如图所示.

（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.
∴∠FCG=∠ACE=α.
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分
∴∠AGC=30°.
∴∠AFC =α+30°. …………………………3分
（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为.
证明：作CH⊥AG于点H.
由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.
∴CA=CG. …………………………………………………5分
∴HG =AG.
∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF，
∴△ACE≌△GCF. ……………………………6分
∴AE =FG.
在Rt△HCG中，
∴AG =CG. …………………………………………7分
即AF+AE=CG.

训练 如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=3，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。
（2）①△AEF是等边三角形。理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。
又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。
在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。
又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=，BE=。
由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角），
∴∠EAC=∠GFC。
在△CAE与△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG 。∴，即。解得：CG=。
【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。
（2）①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形。
②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。
【解后反思】对于旋转相关问题，要始终注意旋转的性质，即：（1）旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置。也就是旋转前后图形全等；（2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角，旋转角都相等．故旋转问题要注意旋转角度和旋转前后的对应边，这些相等问题都是进一步解题的基础．此类问题容易出错的地方是不会利用旋转的性质,特别是对于第（4）问画不出相应图形中的辅助线而导致不会求解．
考点5 与平行四边形的综合
1、在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.
H
G
F
E
O
D
C
B
A
图①
H
G
F
E
O
D
C
B
A
图②
A
B
C
D
O
E
F
G
H
图③
A
B
C
D
O
E
F
G
H
图④

2、已知,矩形中, 的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
图10-1
图10-2
备用图

(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,

图1
图2
图3

三、巩固训练
1、如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连CF
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积．

【考点】菱形的判定与性质．
【分析】（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；
（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC为60°，即可得△BEC是等边三角形，求得BE=BC=CE=6，再过点E作EG⊥BC于点G，求的高EG的长，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴BE=BC=CE=6，
过点E作EG⊥BC于点G，∴EG=BE•sin60°=6×=3，
∴S菱形BCFE=BC•EG=6×3=18．

【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．注意证得△BEC是等边三角形是关键．
2 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，做AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形。

【逐步提示】第一步利用AAS证明△AEF≌△CED, 第二步利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形ADCF是平行四边形，第三步通过计算出角的度数证明∠DAC=∠ACB, 第四步利用“等角对等边”证出DA=DC, 第五步利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证出四边形ADCF是菱形.
【详细解答】解：∵AF∥CD，
∴∠AFE=CDE,
在△AFE和△CDE中

∴△AFE≌△CDE
∴AF=CD,
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB
∴∠DAC=∠DAB=∠ACD=30°，
∴DA=DC
∴四边形ADCF是菱形.
【解后反思】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题. (1)判定两个三角形全等的基本思路：①有两个角对应相等时，找任意一条对应边相等；②有两条边对应相等时，找夹角对应相等或第三边相等；③有一条边和一个角对应相等时，找等角的另一条邻边对应相等或另一个角对应相等；④如果有直角三角形，还可以考虑用“HL”;平行四边形判定方法：①两组对边分别分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【关键词】全等三角形的性质 ；三角形全等的识别；角的平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定; 平行四边形的判定; 菱形的判定; 平行线的判定.
3 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
第17题

【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，…………………………………………1分
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2分
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，………………………………………………………3分
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，………………………………4分
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形
4、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D；
(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．

解答 (1)证明：∵△ABC旋转到△A1BC1，
∴∠CBF＝∠A1BD，△ABC≌△A1BC1，
∵△ABC为等腰三角形，
∴BC＝AB＝A1B，∠C＝∠A＝∠A1，
∴△BCF≌△BA1D(ASA)；
(2)解：四边形A1BCE是菱形．
理由如下： ∵∠C＝α，
∴∠C1＝∠A＝α ，
即∠CBF＝∠C1，
∴A1E∥BC，
又∵∠A1BD＝∠A＝∠α，
∴A1B∥EC，
∴四边形A1BCE为平行四边形，
又∵BC＝A1B,
∴四边形A1BCE为菱形．
5 如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝2，求BC的长；
(2)求证：ME＝AM－DF.

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴MC＝MD.
∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝4，∴BC＝CD＝4
(2)延长DF，AB交于G，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA.
∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF.
可证△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME＝MF.
∵AB∥CD，∴∠2＝∠G，∠GBF＝∠BCD，
∵F为边BC的中点，∴CF＝BF，
可证△CDF≌△BGF(AAS)，∴DF＝GF.
∵∠1＝∠2，∠G＝∠2，∴∠1＝∠G，
∴AM＝GM＝MF＋GF＝DF＋ME，
即ME＝AM－DF

6 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；
(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，
∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.
（2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.

7 如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF＝DC，BE＝AB
∴DF∥BE，DF＝BE
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF
(2)证明：∵AG∥BD
∴∠G＝∠DBC＝90°
∴DBC 为直角三角形
又∵F为边CD的中点．
∴BF＝DC＝DF
又∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF是菱形
8 如图，矩形中，，是边上一点， （为大于2的整数），连接，作的垂直平分线分别交、于点，，与的交点为，连接和.
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当（为常数），时，求的长；
（3）记四边形的面积为，矩形的面积为，
B
C
A
F
E
D
G
O
当时，求的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）

（1）菱形
因为FG为BE的垂直平分线，所以，FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO，
又FE∥BG，所以，∠FEB＝∠GBO，所以，∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG，
所以，ΔBOF≌ΔBOG，所以，BF＝BG，
所以，BG＝GE＝EF＝FB，BFEG为菱形。
（2）AB＝a，AD＝2a，DE＝a，AE＝，BE＝，OE＝，
设菱形BFEG的边长为x，因为AB2＋AF2＝BF2，
所以，，解得：x＝，所以，OF＝，
所以，FG＝
（3）n＝6