高考数学文化题目：阿波罗尼斯圆问题.doc

高考数学文化内容预测三：阿波罗尼斯圆问题

一、高考考试大纲数学大纲分析及意义：
普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议：
建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。
其主要意义为：
（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.
（2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.

二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测：
往年新课标高考实例分析：
分析一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景
近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景．
（1）2015年高考全国卷Ⅰ，此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合．
（2）2015年高考全国卷Ⅱ，此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”．
（3）2015年高考湖北卷，此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.
分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景
从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.
数学文化题型背景预测：
预测1：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目.
预测2：高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接.
预测3：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。
预测4：中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。
三、 直击高考经典
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．
如图，点为两定点，动点满足，
则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，
后世称之为阿波罗尼斯圆．
证：设．以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则．
又设，则由得，
两边平方并化简整理得，
当时，，轨迹为线段的垂直平分线；
当时，，轨迹为以点为圆心，长为半径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．
高考经典试题分析：
【2013江苏，17】
如图，在平面直角坐标系中，点，直线．
设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，
求切线的方程；
x
y
A
l
O
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐
标的取值范围．
解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：，
d＝，得：．
故所求切线为：．
（2）设点M(x，y)，由，知：，
化简得：，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤．
四、数学文化领悟
高考数学试卷中,我们可以见到阿波罗圆的一般形式, 阿波罗圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现.我们说“评10年高考,看一个题根”,其实这个圆哪里只考了10年.今年湖北卷中出现的,只不过是其更新颖的形式罢了。
注：1.波罗尼斯（Apolloning,约公元前260~170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。
五、高考试题预测
高考预测1：与圆有关的面积问题
例1 满足条件的三角形的面积的最大值是 ．
解：以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则
，设，由得，
平方化简整理得，∴，则
，∴的最大值是．
高考预测2：与圆有关的范围问题
例2 在平面直角坐标系中，设点，若存在点，使得，则实数的取值范围是 ．
解：设，则 ，
整理得，即动点在以为圆心，为半径的圆上运动．
另一方面，由知动点在线段的垂直平分线上运动，因而问题就转化为直线与圆有交点，
所以，故实数的取值范围是．
例3 在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为 ，圆心在上.若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
解： 设，则圆方程为
又设， ， 即
这说明既在圆上，又在圆上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，
，
解得，即的取值范围是．
高考预测3：与阿圆有关的探索性问题问题
例4 已知⊙和点.
（1）过点向⊙引切线，求直线的方程；
（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的⊙的方程；
（3）设为（2）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为Q. 试探究：平面内是 否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设切线方程为 ，易得，解得，
∴切线方程为．
（2）圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则
∴⊙的方程为
（3）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，
根据题意可得，∴，
即 （*），
又点在圆上∴，即，代入（*）式得：

若系数对应相等，则等式恒成立，∴，
解得，
∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；
点的坐标为时，比值为．

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