数学-高中必修五-解三角形-经典题目.doc

解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形
例1
在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，c=+，∴由正弦定理得：
∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）.
∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°-A)]= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)=
cos(75°-A)
① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值=8+4；
② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,
∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，
∴＞ cos75°=×=+.
综合①②可得a+b的取值范围为(+,8+4>
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3
在△ABC中，·tanB=·tanA，判断三角形ABC的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。
解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：
,

即，，
.
∴为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。
例4
在△ABC中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。
解：.
又∵B为锐角，∴B=45°.
由
由正弦定理，得,
∵代入上式得：

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式
例5
在△ABC中，求证.
【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为.
证明：由正弦定理的变式得：

同理

【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6
在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证.
【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.
证明：

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

考察点4：求三角形的面积
例7
在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求△ABC的面积S.
【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。
解：由题意，得
∴B为锐角，
由正弦定理得

【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，

例8
已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且, 求△ABC的面积S的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。
解：

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题
例9
已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C
【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。
解法1：
（R为△ABC的外接圆半径），

又∵A,B为三角形的内角，

当时，由已知得
综上可知，内角.
解法2：
由及正弦定理得，
，
，
从而
即
又∵0＜A+B＜π，

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。
例10
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的内切圆半径。
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。
解：
变形为
又
∴△ABC是直角三角形。
由解得

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
『高考真题评析』
例1（广东高考）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若则
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。
【点拨】在△ABC中，又，故，由正弦定理知又a＜b，因此从而可知，即。故填1.
【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。
例2（北京高考）如图1-9所示，在△ABC中，若
则
【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。
【点拨】由正弦定理得，
∵C为钝角，∴B必为锐角，

故填1
【名师点评】
在范围内，正弦值等于的角有两个，因为角C为钝角，所以角B必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解

例3（湖北高考）在△ABC中，则等于（ ）

【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B的范围。
【点拨】由正弦定理得∵＞，，∴B为锐角。，故选D
【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B的余弦值。
例4
（天津高考）在△ABC中，
（1）求证 ；
（2）若，求的值。
【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。
证明：（1）在△ABC中，由正弦定理及已知，得。
于是即
因为＜B-C＜，从而B-C=0，所以B=C .
解：（2）由和（1）得，故
又0＜2B＜，于是从而，
。所以
【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角A与角B的函数关系，在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围。
知能提升训练 学以致用
1、在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（ ）
A．＞ B. =
C. ＜ D. ≥
2、（山东模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，，则c等于（ ）
A.1 B.2 C. D.
3、（广东模拟）在△ABC中，，则等于（ ）
A． B.
C. D.
4、在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B.等边直角三角形
C．钝角三角形 D.等腰直角三角形
5、在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围是（ ）
A． B.
C. D.

6、在△ABC中，，则，满足此条件的三角形有（ ）
A．0个 B.1个 C.2个 D.无数个
7、在△ABC中，若A：B：C=3：4：5，则：：等于（ ）
A．3：4：5 B.2::
C. 1::2 D.: :
8、（2011·浙江模拟）在△ABC中，则此三角形的最大边长为（ ）
A． B. C. D.
9、在△ABC中则。
10、（2011·山东模拟）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，则角A的大小为。
11、在△ABC中已知cm，cm，，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么的取值范围是
13、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，求证。

14、在△ABC中，求及三角形的面积。

15、已知方程的两根之积等于两根之和，且为△ABC的内角，分别为的对边，判断△ABC的形状。

16、在△ABC中，
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的最大边长为，求最小边的长。

1.1.2 余弦定理
『典型题剖析』
考察点1： 利用余弦定理解三角形
例1：
已知△ABC中，求A，C和。
【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长的方程，首先求出边长，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角。
解法1：
由正弦定理得，
解得或6.当时，
当时，由正弦定理得
解法2：
由＜，＞，知本题有两解。
由正弦定理得，
或，
当时，，由勾股定理得：

当时，，∴△ABC为等腰三角形，。
【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。
例2：△ABC中，已知，求A，B，C

考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状
例3：
在△ABC中，已知且，试判断△ABC的形状。
【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。

例4：已知钝角三角形ABC的三边求k的取值范围。
【点拨】由题意知△ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c的大小关系，故必有C角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k的取值范围。
解：＞0，＜，
＜，解得-2＜k＜6.而k+k+2＞k+4，∴k＞2.故2＜k＜6.故k的取值范围是
【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。
考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题
例6在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。
（1）求证
（2）求证
【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用
证明：（1）由得；。
又∵
∴

故原式成立。
（2）左边
右边。
故原式成立。
考察点4：正余弦定理的综合应用
例7：在中，已知
【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。
解：

∵a＞0,c＞0,

由正弦定理得

或.
由知a＞b,
若则与已知矛盾。

【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a，c的关系，再结合正弦定理求注意特殊角的三角函数值，如：
例8：设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求A的大小；
（2）求的值。