2020年上海静安初三数学一模试卷及答案.doc

静安区2019学年第一学期期末教学质量调研
九年级数学试卷 2020.1
（完成时间：100分钟 满分：150分 ）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
3. 答题时可用函数型计算器．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．已知，，那么ab的值为
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为
（A）3∶2； （B）3∶5； （C）5∶2； （D）5∶3．

3．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，、、所对的边分别为a、b、c，如果a=3b，那么∠A的余切值为
（A）； （B）3； （C）； （D）．
5．如图1，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，
图1
D
A
B
C
O
，下列式子中正确的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
6．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是
（A）向右平移4个单位，向上平移11个单位；
（B）向左平移4个单位，向上平移11个单位；
（C）向左平移4个单位，向上平移5个单位；
（D）向右平移4个单位，向下平移5个单位．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．因式分解： ▲ ．
8．已知，那么= ▲ ．
9．方程的根为 ▲ ．
10．已知：，且y≠4，那么= ▲ ．
C
B
A
D
图2
11．在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD=6，那么AG= ▲ ．
12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 ▲ ．
13．如图2，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，
已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为 ▲ 米．（结果
保留根号）
14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是 ▲ ．
15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为 ▲ ．
16．已知二次函数（a是常数，a≠0），当自变量x分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1 ▲ y2（填“>”、“<”或“=”）．
17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么= ▲ ．
图3
A
B
C
D
18. 如图3，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．

20．（本题满分10分, 其中第（1）小题7分，第（2）小题3分）
C
A
B
D
图4
如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=20，， CD⊥AB，垂足为D．
（1）求BD的长；
（2）设， ，用、表示．

21．（本题满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）
已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）的对称轴是直线x=1．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；
图5
x
y
O
1
1
（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面
直角坐标系内描点，画出该抛物线．

…

…

…

…

22．（本题满分10分，其中第（1）小题7分，第（2）小题3分）
如图6，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
图6
M
A
B
C
l
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船
能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，
tan22°≈0.404，≈1.732．）

23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）
图7

A
B
D
C
E
F
O
如图7，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2 = OB·OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．

24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
在平面直角坐标系中（如图8），已知二次函数（其中a、b、c是常数，且
a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
图8

O
y
x
（1）求这个二次函数的解析式；

（2
）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果
，求tan∠DBC的值；
（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，
当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．

25．（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

已知：如图9，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2 =BE · DC ，DE:EC=3:1 ，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．
（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；
（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；
（3）如图10，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．
图9
C
A
B
D
E
F
G

图10
G
F
A
B
D
E
C

静安区2019学年第一学期期末学习质量调研
九年级数学试卷参考答案及评分说明 2020.1
一、选择题
1． C； 2．D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．D．
二、填空题
7．x（x-5）； 8．； 9．x=3； 10． ； 11． 4； 12．16:25； 13． ； 14．或； 15．240； 16．>；17． ； 18． ．
三、解答题
19．解：原式＝ …………………………………………………………………（4分）
＝．………………………………………………………………………………………（2分）
当x=sin45°=，y=cos60°=时…………………………………………………………………………（2分）
原式＝． ……………………………………………………………………（2分）
20．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，∴ ．…………………………（2分）
∴…………………………………………………………（1分）
∴．………………………………………………………………………………（1分）
∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，∴∠DCB=∠A．………………………（1分）
∴．…………………………………………（2分）
（2） ∵，∴．…………………………………………………（1分）
又∵， …………………………………………………………………（1分）
∴．…………………………………………………………………（1分）
21．解：（1）∵对称轴为 ∴．……………………………………………………（1分）
∴b=-2．…………………………………………………………………………………………（1分）
∴抛物线的表达式为．………………………………………………………（1分）
（2） ∵点A（8，m）在该抛物线的图像上，∴当x=8时，．
∴点A（8，49）．………………………………………………………………………………………（1分）
∴ 点A（8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．…………………………………（2分）
（3）表格正确，得2分；图正确得2分．
22．解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．…………………………………（1分）
∵在Rt△CDM中， CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，………………………………………（1分）
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，∴AD=DM，………………………………………………（1分）
∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，…………………………………………………………………（1分）
∴100+ x·tan22°=x．………………………………………………………………………………（1分）
∴．………………………………………………（2分）
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°
=DM≈≈96.87米．……………………………………………（1分）
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．……………………………………（1分）
所以该轮船能行至码头靠岸．………………………………………………………………………（1分）
23．证明：（1）∵OD2 =OE · OB，∴． ……………………………………………………（1分）
∵AD//BC，∴．……………………………………………………………………（2分）
∴．……………………………………………………………………………………（1分）
∴ AF//CD．…………………………………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是平行四边形．…………………………………………………………………（1分）
（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC，．…………………………………………（1分）
∵BC=BD，∴BE=BF，∠BDC=∠BCD…………………………………………………………（1分）
∴∠AED=∠BCD．
∵∠AEB=180°-∠AED，∠ADC=180°-∠BCD，∴∠AEB=∠ADC．…………………………（1分）
∵AE·AF=AD·BF，∴．…………………………………………………………（1分）
∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD．…………………………………………………（1分）
∴．…………………………………………………………………………………（1分）
∴△ABE∽△ADC．
24．解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，
…………………………………………………………………………………（3分）
解得∴此抛物线的表达式是．…………………………………（1分）
（2）过点D作DH⊥BC于H，
在△ABC中，设AC边上的高为h，则（1分）
又∵DH//y轴，∴．∴．………………………（1分）
∴．…………………………………………………………………（1分）
∴tan∠DBC=．……………………………………………………………………………（1分）
（3）方法一：
∵，所以对称轴为直线x=2，设直线x=2与x轴交于点G．（1分）
过点A作AF垂直于直线x=2，垂足为F．
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵AF//x轴，∴∠FAC=∠OCA=45°．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠EAC
∵∠BAO=∠OAC-∠BAC，∠EAF=∠FAC-∠EAC，∴∠BAO=∠EAF………………………（1分）
∵∠AOB=∠AFE=90°，∴△OAB∽△FEA，∴．
∵AF=2，∴．…………………………………………………………………………………（1分）
∴EG=GF-EF=AO-EF=3-=． ∴E（2，）．……………………………………………（1分）
方法二：
延长AE至x轴，与x轴交于点F，
∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，
∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．………………………………………………………………（1分）
∴△OAB∽△OFA，∴．∴OF=9，即F（9，0）…………………………………（1分）设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），
可得 解得∴直线AF的解析式为……………………………（1分）
将x=2代入直线AF的解析式得，∴E（2，）……………………………………（1分）
25．（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：……………………………………（2分）
∵AB2 =BE · DC ，∴．……………………………………………………………………（1分）
∵AB=AC，∴∠B=∠C．………………………………………………………………………………（1分）
…………………………………………………………………………………………（1分）
∴△ABE∽△DCA．
∵△ABE∽△DCA，∴∠AED=∠DAC．
∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，∴∠DAE=∠C．∴△ADE∽△CDA ．……（1分）
（2）∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴…………………………………（1分）
设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，∴ ，解得（负值已舍）………（2分）
∴…………………………………………………………………………（1分）
（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45° ，∴∠DAE=∠C=45°

12

∵DG⊥AE，∴∠DAG=∠ADF=45°，∴AG=DG=…………………（1分）
∴………………………………………………………………………（1分）
∵∠AED=∠DAC ∴△ADE∽△DFA
∴， ∴…………………………………………………（1分）
∴……………………………………………………………………………………（1分）

13