高考数学冲刺专题复习之——求数列通项公式(教师版).doc

高考数学（文）冲刺复习之——求数列的通项公式
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法.这种方法适用于已知数列类型的题目，此题目是必须掌握的基本运算，一般有“知二求一”的方程思想.
例题 等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

训练 【2017新课标1文】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
【考点】等比数列
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既
二、利用和的关系求的通项公式
解法：巧用.使用是根据具体条件和结论，正用、逆用或同时使用，对等式退（进）一步作差.
1、形如f(Sn,n)=0型
可利用公式： 直接求出通项；（讨论能否被吸收）
例题1 已知数列{an}的前n项和为（1）Sn=2n2-n；（2）Sn=n2+n+1，分别求数列{an}的通项公式；

例题2 已知数列的前项和满足求数列的通项公式；

变式1 数列的前n项和满足：（nN+），求数列的通项公式；

变式2 已知数列的前n项和为且，数列满足且．（１）求的通项公式；（２）求证：数列为等比数列；

变式3 若前n项和为Sn且满足an=,且a1=1，求数列的通项公式；

2、形如f(Sn,Sn+1)=0型
方法（i）.看成{Sn}的递推公式，求Sn的通项公式，再由求出.
（ii）.（逆用）利用an=Sn-Sn-1转化成关于an和an-1的关系式再求。
例题1 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t（t为常数且t>0，n=2,3,4…）
（1）求证：数列{an}是等比数列； （2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1，，求bn

变式1：若前n项和为Sn方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1, 求数列的通项公式；

变式2：已知下列各数列的前项和的公式，求的通项公式；
（1）；（2）
【解析】（1）当时，，时，，

（2）当时，，
即

，又，

3、形如f(Sn,an)=0型
利用an=Sn-Sn-1转化为g(an,an-1)=0型或h(Sn,Sn-1)=0型
例题 数列{an}的前n项和记为Sn，已知证明：数列是等比数列.

变式：数列的各项均为正数，是的前n项和，对于任意，总有成等差数列
①求数列的通项公式；
②设数列的前n项和为，且，求证：对任意实数和，总有

点评：利用公式求解时，要注意对进行分类讨论，但若能合写时一定要合并.另外，此种方法的原理适合所有多写一项，逐项对齐，两式相减的题目

四、由递推式求数列通项法
对于递推式确定的数列的求解，通常可以通过地推公式的变换，转化为等差数列或等比数列，有时也用到特殊的转化方法与特殊数列；
类型1： ，为可求和的式子.
解法：把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）、迭代法或左边构造来求解
例题1 已知数列，求
（1），求通项
（2），

例题2 已知数列{an}满足,证明

变式 设数列{an}满足a1＝0且－＝1.求{an}的通项公式；

类型2 ，为可求乘积的式子
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）或迭代法求解
例题1 已知数列满足，求.

例题2 已知数列满足，求.

变式1 （全国I）已知数列满足求的通项；

变式2 （全国I）设数列是首项为的正项数列，且，求它的通项公式；

变式3 （2017年四川·全国卷三）

类型3 ，为非零常数，一般有下列三种情况：
1、 当为常数时，即
点评：求递推式形如（、为常数）的数列通项，是近年高考考得很多的一种题型.
解法一（待定系数—累加法）：用待定系数法构造辅助数列或构造一个新数列，可转化为特殊数列的形式求解.一般地，形如的递推式均可通过待定系数法对常数分解法：设与原式比较系数可得，即，从而利用换元法构造等比数列
解法二（特征根法）：设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.
例题1 已知数列中，求.

例题2 数列满足，求数列的通项公式

变式 已知数列满足， .求的通项公式。

变式1：（2006，福建）
已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足,证明: 是等差数列；
（Ⅲ）证明:
（I）解：∵an+1=2 an+1（n∈N）,
∴an+1+1=2(an+1),
∴| an+1| 是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。
∴an+1=2n，
既an=2n－1(n∈N)。
（II）证法一：∵4b1－14 b2－2…4 bn－1=(a+1)bn，
∵4k1+k2+…+kn =2nk,
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb, ①
2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1 ②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb,
即 (n-1)bn+1-nbn+2=0. ③
nbn+2=(n+1)bn+1+2=0. ④
④-③，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,
即 bn+2-2bn+1+b=0,
∴bn-2-bn+1=bn(n∈N*),
∴{bn}是等差数列.
证法二：同证法一，得
(n-1)bn+1=nbn+2=0
令n=1，得b1=2.
设b2=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d.
(1)当n=1,得b1=2.
(2)假设当n=k(k≥2)时，b1=2+(k-1)d,那么
bk+1=
这就是说，当n=k+1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知bn=2(n-1)d对任何n∈N*都成立.
∵bn+1-bn=d, ∴{bn}是等差数列.
(3)证明：∵
∴
∵≥(),k=1,2,…,n,

变式2：设正数列满足且，求的通项公式；

2、 当为的一次式时，可转化为特殊数列的形式求解，也可以同除以或转化为前面的类型求解；
解法：利用待定系数法，再利用换元法构造等比数列
设 ，即构造
例题 设数列：，求；

变式：在数列{an}中，,求通项an.(.)
说明：若为的二次式，则可设，利用待定系数法进而求解

3、 当时，则递推公式为（其中、均为常数）
解法：一般地，（1）在原递推公式两边同除以（累加法）或（构造等比数列）转化为前面的类型求解
（2）待定系数法：
设an+1+λqn+1=p(an+λqn).则an+1=pan+λ(p-q)qn， ，令
则cn+1=pcn {cn}是等比数列，可求{cn}通项。
范例 已知数列满足，求；

变式1 （1）已知数列中，，求；

（2）在数列中，，．求数列；

（3）设a0为常数，且2an=3n-1-3an-1 ．求通项an.

变式2 在数列
（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和；

变式3（全国）
设数列的前n项和
（1） 求首项与通项；
（2） 设证明：

类型4 型（其中p,q均为常数）。
（二阶递推如果在高考中出现，可以不用特征根法，因为不是高考要求，一定能转化成前面一阶递推的形式，只要有整体和转化思想。）
解法一（分解系数法）递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成两个数，适当组合，换元法构造等比数列。
解法二（待定系数法）：先把原递推公式转化为
其中s,t满足，高考中常用此法；
解法二（特征根法）：对于由递推公式给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，①当时，数列的通项为，其中A、B由决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）；②当时，数列的通项为，其中A、B由决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。
例题 已知数列中，，求。

变式1、数列中，，求数列的通项公式。
解：由得设
比较系数得，解得或
若取，则有
∴是以为公比，以为首项的等比数列
∴
由逐差法可得
=
==
说明：若本题中取，则有即得
为常数列, 故可转化为例13。
变式2：（2006，福建）
已知数列满足
（1） 证明：数列是等比数列；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 若数列满足，证明是等差数列。

变式3：（四川）设数列的前n项和为，已知，求的通项公式

类型5 型
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例题 已知数列满足：，求数列的通项公式。

变式1 （江西）

类型6
解法： 两端除以得：
例题 已知数列{}满足时，，求通项公式。
变式变式4：在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．
(1)试判断数列{}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项为Sn；

类型7 型（不动点法）
解法：（特征根法）如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,①当特征方程无根时，则数列为周期数列；②当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列；③当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。
例题1 已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
例题2 已知数列满足：对于都有
（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
解：作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵对于都有
(2)∵
∴

令，得.故数列从第5项开始都不存在，
当≤4，时，.
(3)∵∴ ∴
令则∴对于
∴
(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，
时，数列是存在的，当时，则有
令得且≥2.
∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.
于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.
变式 数列记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和
解：由已知，得，其特征方程为，解之，得
，
，
。
类型8 或型
解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。
例题 （I）在数列中，，求
（II）在数列中，，求

类型9 周期型

例题 若数列满足，若，则的值为___________。
变式 （湖南）已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．
五、求数列通项还有其他方法
1、构造数列（二次甚至三次构造）；恒等变形：平方、开方，退一步或进一步作差，等式两边同除以同一个多项式（数列前后两项的乘积）；利用求求根公式等
例题 已知数列的首项，通项公式与前项和之间满足.
求数列的通项公式.
变式1：数列中，，对所有，都有，求

变式2：设数列满足，且对任意正整数，都有，又，求的值是多少？

变式3：设数列中的每一项都不为0，证明：是等差数列对任何，都有

2、换元法
例题 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得

即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
3、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.如构造等差数列或等比数列；构造差式与和式；构造商式与积式；构造对数式或倒数式
一种特殊的构造法----待定系数法
1）、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。

2）、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。
4、特征根法
形如①；②；③均可使用特征根法

5、方程思想
例题 已知函数，数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【解析】（Ⅰ）有，
即，
解得
变式

6、间接法
例题 已知数列满足，令
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式
【解析】（Ⅰ）因为，
所以，所以数列是的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知构成以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以数列的通项公式为

7、分解因式
例题 （2016年全国卷三）已知各项都为正数的数列满足，.
（I）求；
（II）求的通项公式.
变式 （江西文）正项数列满足：.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 令，数列的前项和为．
分析 （1）根据已知的和的关系式进行因式分解，通过得到数列的通项公式；
（2）把数列的通项公式代入的表达式，利用裂项法求出数列的前项和.
解析 （1）由，得.由于是正项数列，所以.
（2）由，则，
.

高考链接
1、【全国1文】已知数列{an}中，a1＝1，前n项和.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】：(1)由得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；
由得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n＞1时有an＝Sn－Sn－1＝，

2、（四川）
设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式
【解】：由题意知，且

两式相减得
即 ①
（Ⅰ）当时，由①知
于是

又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由由①得

因此

得
3、已知数列满足
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足证明是等差数列。
【解】证明：

是以为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得

（III）证明：

　　　　　　　　 ①
　　②
②－①，得
即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得
即

是等差数列

A 组
1、若an>0, 前n项和为Sn且S1>1,6=( an+1)( an+2)

2、数列{an}的前n项和为，a1=1，an+1=2+1（n≥1）
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）等差数列{bn}的各项均为正数，前n项和为，且T3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等差数列，求。

3、设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。

4、在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和

5、已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

6、已知数列满足递推关系式=2+2n(n≥2)，其中=64。
（1）求，，；
（2）求数列{}的通项公式；
（3）求数列{}的前n项和。

7、已知数列{}满足a1=1，a2=3，=3+1-2（n∈N*）
（1）证明：数列{ - }是等比数列；
（2）求数列{}的通项公式；

8、设数列{}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*），均在函数y=3x-2的图象上。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m。

9、已知正项数列{}，前n项和Sn满足10=n+5+6，且a1、a3、a5成等比数列，求数列{}的通项公式。

10、设数列{ }前n项和=2-2n
（1）求、；
（2）证明：{}是等比数列；求数列{}的通项公式

11、在等差数列{}中，=1，前n项和为满足条件（n=1，2，3…）
（1）求数列{}的通项公式；
（2）记=（p>0），求数列{}的前n项和

12、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和．

13、在数列{an}中，a1=1, an+1=2an+2n.
（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．

B组
1、已知数列的前n项和为且，数列满足且．
（１）求的通项公式；
（２）求证：数列为等比数列;
（３）求前n项和的最小值．

2. 在数列
（1） 求证：数列是等差数列；
（2） 求数列的前n项和；

3、已知数列是等比数列,且
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:；
(3)设,求数列的前100项和.

4、数列{an}中，，，且满足常数
(1)求常数和数列的通项公式；
(2)设，
(3) ,

5、已知数列 ， 求

6、已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且
.
(1) 求证: 数列是等比数列;
(2) 求数列的前项和.