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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名和考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效, 回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3．考试结束后，并将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设，则( )
A.2 B. C. D.1
2.已知集合( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 (0.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,最美人体的头顶至
咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分
割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )
A. 165cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
5.函数在的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2.....，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )
A．8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生
7. ( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A． B. C. D.
9.右图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )
A． B．
C． D．
10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
11．的内角的对边分别为,已知,，则( )
A．6 B．5 C．4 D．3
12. 已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A，B两点。若，则C的方程为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿＿＿.
14.记为等比数列的前项和. 若，，则＿＿＿＿＿＿＿＿.
15.函数的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿.
16.已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，
那么到平面的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分．
17．（本题满分12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.010
0.005
k0
3.841
6.635
7.879
18 （本题满分12分）
记为等差数列的前项和,已知
(1)若,求的通项公式;
(2)若,求使得的的取值范围。
19．(本题满分12分)
如图，直四棱柱的底面是菱形，，分别是的中点。
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离。
20．(本题满分12分)
已知函数，为的导数.
(1)证明：在区间存在唯一零点；
(2)若时，，求的取值范围。
21．(本题满分12分)
已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切.
(1)若在直线上，求的半径:
(2)是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1) 求和的直角坐标方程：
(2) 求上的点到距离的最小值.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知，，为正数，且满足.证明：
(1) ：
(2) .
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名和考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效, 回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3．考试结束后，并将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
B
D
C
D
B
A
D
A
B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (1)设A事件为男顾客对商场商场服务满意,B事件为女顾客女顾客坠商场服务满意.
由图标可得:
(2)
∴我们有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18. (1)由题意得:
∵
∴
∴
(2)由(1)得即
∵
∴
化简得:
把代入得:
∵且 ∴
∴化简得
解得:
∴的取值范围为
19. 解：(1)连接,∵分别是的中点。∴
又∵ ∴
∵N是的中点 ∴
∴即是一个平行四边形
∴ 又因为
∴
(2)过C作的垂线, 垂足为H,
由题意得: ∴平面，∴
∴平面 ∴就是到平面的距离.
由题意可得: ∴
即到平面的距离为
20. 解：(1)设，则，.
当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减
又∵
∴在存在唯一零点。即在存在唯一零点.
(2)由题设知，，∴.
由(1)知，在存在唯一零点，设零点为，
∴当时，;当时，
所以在单调递增，在单调递减
又，所以，当时，.
又当，时，，故
因此，的取值范围是.
21. 解：(1)∵过点， ∴圆心M在AB的垂直平分线上
又∵在直线上且，关于坐标原点对称
∴M在直线上 所以设
∵与直线相切
∴的半径
由题意得:
解得: ∴的半径
(2)假设存在定点，使得当运动时，为定值
设∴的半径,
∵故可得，化简得M的轨迹方程为
因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
∴
因为，所以存在满足条件的定点,∴假设成立
（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分．
22．解：(1)∵ ，
∴ ∵
∴
代入得
化简得:
直线l的直角坐标方程为:
(2)由(1)得曲线的参数方程为（为参数）．
设曲线上的任意一点P的坐标为: ，
则点P点到直线的距离为: ．
∴
23．解：（1）∵,
∴得证.
(2) ∵
得证.
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