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初中数学专项训练：多边形及其内角和
一、选择题
1．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为【 】
A．5 B．6 C．7 D．8
2．五边形的内角和为【 】
A．720° B．540° C．360° D．180°
3．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为【 】
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
4．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是【 】
A. 四边形 B. 五边形 C . 六边形 D. 七边形
5．四边形的内角和的度数为
A．180° B．270° C．360° D．540°
6．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为

A．30° B．36° C．38° D．45°
7．（2013年四川资阳3分）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是【 】
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
8．（2013年四川眉山3分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是【 】
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【 】
A．3 B．4 C．5 D．6
10．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.
两角互余 （B）两角互补 （C）两角互余或互补 （D）不能确定
11．正五边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数分别是_______.
12．若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
13．若一个多边形共有十四条对角线,则它是( )
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
14．四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )
A.都是钝角; B.都是锐角
C.是一个锐角、一个钝角 D.是一个锐角、一个直角
15．一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
16．若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( )
A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4
17．不能作为正多边形的内角的度数的是( )
A.120° B.(128)° C.144° D.145°
18．一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )毛
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
19．一个多边形恰有三个内角是钝角，那么这个多边形的边数最多为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
20．如图，若，那么等于（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
21．如果一个多边形的每个外角，都是与它相邻内角的三分之一，则这样的多边形有（　　）
Ａ．无穷多个，它的边数为
Ｂ．一个，它的边数为
Ｃ．无穷多个，它的边数为
Ｄ．无穷多个，它的边数不可能确定
22．如果一个正多边形的一个内角等于，则这个正多边形是（　　）
Ａ．正八边形 Ｂ．正九边形 Ｃ．正七边形 Ｄ．正十边形

二、填空题
23．一个六边形的内角和是 .
24．如图，在四边形ABCD中，∠A=450，直线l与边AB、AD分别相交于点M、N。则∠1 ＋∠2 = 　。

25．若n边形的每一个外角都等于60°，则n=　 　．
26．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 .
27．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　 　．
28．四边形的外角和等于 .
29．已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　 　．
30．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是　 　。
31．正八边形的一个内角的度数是　　　　 度．
32．已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.
33．从n边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.
34．由于一个多边形的外角最多能有_____个钝角，因此，一个多边形的内角最多能有_____个锐角．边形内角和与外角和的差为，则_____．
35．若一个正多边形的每一个外角都是，那么从某一个项点出发的所有对角线会将其分成_____个三角形
36．黑白两种颜色的正方形纸片，按如图所示的规律拼成若干个图案，（1）第4个图案中有白色纸片_____块。（2）第n个图案中有白色纸片_____块。

37．一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的一个多边形的内角和是，那么原多边形的边数是______．
38．一个六边形所有内角都相等，则每个内角为_____度．
39．各内角都相等的多边形中，一个外角等于相邻内角的，则它的每一个内角都是______．
40．一个多边形的每个外角都是，这个多边形是______边形，其内角和为______．
41．从边形的一个顶点出发的时角线有______条，可将多边形分成______个三角形．
42．将一个正方形砍去一个角，其内角和将变成______．

三、解答题
43．用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点
中的两个多边形：

根据图中提供的信息填表：

格点多边形各边上的格点的个数
格点边多边形内部的格点个数
格点多边形的面积
多边形1
8
1

多边形2
7
3

…
…
…
…
一般格点多边形
a
b
S
则S与a、b之间的关系为S=　 　（用含a、b的代数式表示）．
44．一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.
45．一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
46．某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？
47．几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形的内角和为1000°？
48．一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为，求这个内角的大小．
49．如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加的度数相同，设最小角为100°，最大角为140°，那么这个多边形的边数为多少？
50．一个四边形的内角的度数的比是，求它的最大内角和最小外角的度数．

试卷第3页，总4页

初中数学专项训练：多边形及其内角和参考答案
1．A。
【解析】根据多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数：
多边形的边数是：360÷72=5。故选A。
2．B。
【解析】根据多边形的内角和定理，五边形的内角和为：（5－2）×180°=540°。故选B。
3．D。
【解析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数
设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，解得：n=6。
若截去一个角的多边形的直线经过两个顶点，则原多边形是七边形；
若截去一个角的多边形的直线经过一个顶点，则原多边形是六边形；
若截去一个角的多边形的直线不经过顶点，则原多边形是五边形。
∴原多边形的边数为5或6或7。故选D。
4．B。
【解析】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此，
由得n=5。故选B。
5．C
【解析】
试题分析：根据多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）直接计算出答案：。故选C。　
6．B
【解析】
试题分析：∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°。
∵AB=AE，∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°。
∵l∥BE，∴∠1=∠AEB=36°。
故选B。
7．C。
【解析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数：360÷36=10。故选C。
考点：多边形的外角性质。
8．B。
【解析】根据多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是36°，得360°÷36°=10，即这个正多边形的边数是10。故选B。
考点：多边形的外角性质。
9．A。

【解析】设边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＜360°，解之得n＜4。
∵n为正整数，且n≥3，∴n=3。故选A。　
考点：多边形内角与外角，一元一次不等式的应用。
10．B
【解析】本题主要考查多边形的外角和定理与正多边形的性质
可设正多边形是正n边形，则它的一边所对的中心角是，进而用含n的式子表示每个外角，利用外角与内角互补，即可求出答案．

设正多边形是正n边形，则它的一边所对的中心角是，
正多边形的外角和是360°，则每个外角也是，
外角与内角互补，则一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是两角互补．
故选B．
11．108°、120°、135°
【解析】本题考查了多边形的内角和公式
根据多边形的内角和公式即可求得结果。
正五边形的每个内角是，
正六边形的每个内角是，
正八边形的每个内角是
12．B
【解析】本题考查了多边形的内角和外角多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，依此列方程可求解．.
解：设所求正n边形边数为n，
则1080°=（n-2）•180°，
解得n=8．
故选B
13．B
【解析】本题主要考查了多边形的对角线与内角和的问题. 由对角线求出其为多少边得多边形
解：设这个多边形是n边形，则=14，
∴n2-3n-28=0，
（n-7）（n+4）=0，
解得n=7，n=-4（舍去）．
故选B
14．C
【解析】本题主要考查了多边形的内角和外角. 记住四边形的内角和是360°这一特征．
解：∵该四边形的一组对角都是直角，
∴另一组对角的和是360°-180°=180°．
A、若另一组对角都是钝角，那么它们的和就大于180°；
B、若另一组对角都是锐角，那么它们的和就小于180°；
C、若另一组对角中一个锐角和一个钝角，那么它们的和有可能等于180°；
D、若另一组对角中一个直角和一个锐角，那么它们的和小于180°；
故选C．
15．A
【解析】本题考查了多边形的内角问题. 利用多边形的外角和是360度即可求出答案．
解：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，
多边形的内角与外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角，内角中就最多有3个锐角．
故选A．
16．D
【解析】本题主要考查了多边形的外角和定理. 多边形的外角和是360°，且根据多边形的各内角都相等则各个外角一定也相等，根据选项中的比例关系求出外角的度数，根据多边形的外角和定理求出边数，如果是≥3的正整数即可．
解：A、外角是：180×=60°，360÷60=6，故可能；
B、外角是：180×=90°，360÷90=4，故可能；
C、外角是：180×= 度，360÷=7，故可能；
D、外角是：180×=80°．360÷80=4.5，故不能构成．
故选D．
17．D
【解析】本题主要考查了多边形的内角和外角. 根据n边形的内角和（n-2）•180°分别建立方程，求出n，由于n≥3的整数即可得到D选项正确．
解：A、（n-2）•180°=120•n，解得n=6，所以A选项错误；
B、（n-2）•180°=（128）°•n，解得n=7，所以B选项错误；
C、（n-2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C选项错误；
D、（n-2）•180°=145°•n，解得n=，不为整数，所以D选项正确．
故选D．
18．D
【解析】本题主要考查了多边形的内角和外角. 根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．
解：∵一个多边形的外角和为360°，
∴外角为钝角的个数最多为3个．
故选D．
19．B
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 关键是记住内角和的公式，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题可用不等式确定范围后求解．
解：设∠A，∠B，∠C均为钝角，则90°＜A＜180°，90°＜B＜180°，90°＜C＜180°.270°＜A+B+C＜540°．n边形中其余n-3个角均小于等于90°．
∵∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠N＜540°+（n-3）•90°
n边形的n个角和为（n-2）×180°
∴（n-2）•180°＜540°+（n-3）•90°推出：n＜7，
∴n的最大值为6
故选B．
20．C
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 根据外角都等于不相邻的两内角和以及四边形的内角和求解
解：设FC与AE、BD相交于M、N点
∴∠FME=∠E+∠C, ∠CND=∠F+∠D
∵∠FME=∠AMN, ∠CND=∠BNM
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F= 360°=90°
∴n=4
故选C
21．B
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出每个外角的度数．根据每个外角度数就可求得边数
解：由题意得，这个多边形是正多边形
∵在这个正多边形中，每个外角都是相邻内角的，
设这个内角为x，则与它相邻的外角度数为x，
∴有x+x=180°，
解得x=135°，则与它相邻的外角度数为45°．
∵360°÷45°=8，
∴这个多边形的边数是8．
故选B
22．A
【解析】本题主要考查了多边形的外角与内角. 首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
解：∵正多边形的一个内角等于135°，
∴它的外角是：180°-135°=45°，
∴它的边数是：360°÷45°=8．
故选A．
23．720°
【解析】
试题分析：∵n边形的内角和为（n－2）×180°，∴六边形的内角和为（6－2）×180°=720°。
24．2250。
【解析】如图，∵∠A=450，∠A＋∠ANM＋∠AMN=1800，∴ANM＋∠AMN=1800－∠A=1350。
又∵∠1＋∠2＋∠ANM＋∠AMN=3600，∴∠1＋∠2=3600－1350=2250。
25．6
【解析】
试题分析：利用多边形的外角和360°除以60°即可：n=360°÷60°=6。　
26．6
【解析】
试题分析：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数=360°÷60°=6。
27．6。
【解析】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
∴内角和是720度。
∴根据多边形的内角和定理，得720÷180+2=6。
∴这个多边形是六边形。
28．360°。
【解析】n（n≥3）边形的外角和都等于360°。
29．8。
【解析】设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）=1080，解得：x=8。　
30．5
【解析】
试题分析：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴每一个外角为72°。
∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=5。
31．135
【解析】
试题分析：根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数：
正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°。　
32．11
【解析】本题考查多边形的内角与外角关系. 先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．
解：设多边形的一个内角为9x度，则一个外角为2x度，依题意得
9x+2x=180°
解得x=（）°
360°÷[2×（）°]=11．
故这个多边形的边数为11．
33．(n-3) (n-2)
【解析】本题主要考查了多边形的对角线．多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形．
34．，　,6
【解析】本题考查了多边形的内角与外角的关系. 根据平角和多边形的外角和等于360°，进行判断即可．
解：多边形的外角和是360°，
设最多有x个钝角，则90°x＜360°，
解得x＜4，
∴x最大取3，即最多有3个钝角．
∴最多有3个锐角
∵n=360°+360°=720°
∴720°÷180°+2=n,解得n=6
35．10
【解析】本题考查了多边形的内角与外角的关系. 根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，从某一个项点出发的所有对角线会将其分成n-2个三角形解析解答
解：∵这个正多边形的边数：360°÷30°=12，
∴这个正多边形是正12边形．
∴12-2=10
36．13，3n＋1
【解析】本题考查了平面图形的有规律变化，主要培养学生的观察能力和分析、归纳能力．通过观察图形发现其中的规律，并应用规律解决问题．
解：第个图案中有白色纸片3×1+1=4张
第2个图案中有白色纸片3×2+1=7张，
第3图案中有白色纸片3×3+1=10张，
第4图案中有白色纸片3×4+1=13张
…
第n个图案中有白色纸片=3n+1张．
37．15
【解析】本题主要考查了多边形的内角和定理. 一个多边形截取一个角（不过顶点）后，则多边形的角增加了一个，求出内角和是2520°的多边形的边数，即可求得原多边形的边数
解：设内角和是2520°的多边形的边数是n．
根据题意得：（n-2）•180=2520，
解得：n=16．
则原来的多边形的边数是16-1=15．
38．
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 利用多边形的内角和为（n-2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数=（6-2）×180°÷6=120°．
39．
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 根据多边形的外角和等于360度即可解决问题．
解：∵各内角都相等
∴各外角都相等
∵外角等于相邻内角的
∴外角+5个外角=180°，即外角=30°
∴内角为30°5=150°
40．五，
【解析】本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法. 根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数；利用多边形的内角和公式计算即可．
解：∵一个多边形的每个外角都是72°，
∴n=360°÷72°=5，
（5-2）•180°=540°．
41．，
【解析】本题主要考查了多边形的对角线. 过n边形的一个顶点出发的时角线有n-3条，过一个顶点的对角线把n边形分成（n-2）个三角形．
42．或或　
【解析】本题主要考查了多边形的内角和定理. 一个正方形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．
解：由题意得：三角形的内角和为180°
四边形的内角和为（4-2）•180°=360°
五边形的内角和为（5-2）•180°=540°
43．解：填表如下：

格点多边形各边上的格点的个数
格点边多边形内部的格点个数
格点多边形的面积
多边形1
8
1
8
多边形2
7
3
11
…
…
…
…
一般格点多边形
a
b
S
a+2（b﹣1）
【解析】
试题分析：根据8=8+2（1﹣1），11=7+2（3﹣1）得到S=a+2（b﹣1）。
44．边数为,n=1或2
【解析】本题考查了多边形的内角和和外角和定理. 先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．
解：设多边形的一个内角为mx度，则一个外角为nx度，依题意得
mx+nx=180°
解得x=
360°÷n=
∵边数是正整数
∴n=1或2
45．15
【解析】本题考查了多边形的内角和和外角和定理. 根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解：∵多边形的外角和为360°，
∴边数=360÷24=15．
则它是15边形．
46．多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°
【解析】本题考查了多边形的内角与外角的关系.
解：设少加的度数为x.
    则1125°＝180°×7-135°
    因为0°<x<180°，
    所以x＝135°.
    所以此多边形的内角和为1125°+135°＝1260°.
    设多边形的边数为n，
    则（n－2）×180°＝1260°，解得n＝9.
    所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°.
47．14，不存在
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 设n边形的内角和是2160°，根据内角和公式列方程求解即可．再假设n边形内角和为1000°，求解得n不是整数，不符合题意，所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000°．
解: 设该多边形为n边形，依题意得
(n－2)·180°=2160°
∴ n =14
不存在这样的多边形，理由如下:
假设存在这样的n边形，依题意得
(n－2)·180°=1000°
∴ n=
∵ 多边形的边数为正整数
∴不存在这样的多边形．
48．
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．
解：设这个内角度数为x，边数为n，
则（n-2）×180°-x=2670°，
180°•n=3030°+x，
∵n为正整数，
∴n=17．
∴这个内角度数为180°×（17-2）-2670°=30°．
49．6
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角.
依题意可知多边形的内角平均度数为120°．
设多边形的边数为，则有120=（）180，
解得．
故此多边形为六边形
50．最大内角为，最小外角为
【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 设四边形4个内角的度数分别是3x，4x，5x，6x，所以3x+4x+5x+6x=360°，即可求解．
解：设四边形4个内角的度数分别是3x，4x，5x，6x，
∴3x+4x+5x+6x =360°，
解得x=20°．
则最大内角为20×6=120°．最小外角为60°
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