江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷解析版.doc

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
参考公式：
锥体体积公式：，其中为底面积,为高；
柱体体积公式：，其中为底面积,为高.
样本数据的方差，其中.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合，，则 ▲ .
开始
结束
x←1
y←9
x>y
x←x+4
y←y-2
否
是
输出x
第4题图
2．设复数满足，其中为虚数单位，
则的虚部为 ▲ .
3．已知样本数据的方差，则样本
数据的方差为 ▲ .
4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 ▲ .
5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字
中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .
6．已知实数满足，则的最小值
是 ▲ .
7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角
为，则该双曲线的离心率为 ▲ .
8．设是等差数列，若，则
▲ .
9．将函数的图象向右平移（）个单位后，所得函数为偶函数，则 ▲ .
10．将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心
为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值
是 ▲ .
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
…
x
y
第12题图
11．在中，已知，，则的最大值为 ▲ .
12．如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线
上从左向右依次取点、，，其中是坐标原点，使
都是等边三角形，则的边长
是 ▲ .
13．在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，则的最大值为 ▲ .
14．在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱中，，,分别是,的中点．
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
第15题图
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．

16．(本小题满分14分)
在中，,,分别为内角,,的对边，且．
（1）求角；
（2）若，求的值.

17. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.
·
l
T
P
O
y
x
Q
第17题图

18．(本小题满分16分)
如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.
（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？
F
第18题图
A
B
E
D
G
C
←南

居
民
楼
活
动
中
心
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）

19．(本小题满分16分)
设函数，（）.
（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
（参考数据：，）

20．(本小题满分16分)
若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）
A.（选修4-1：几何证明选讲）
A
B
C
P
D
O
·
第21(A)图
如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，分别交半圆于点.若，，，求的长.

B.（选修4-2：矩阵与变换）
设矩阵的一个特征值对应的特征向量为 ，求与的值.

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系中，已知直线为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点，求弦的长.

D．(选修4-5：不等式选讲）
若实数满足，求的最小值.

[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分10分）
某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.
（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E(X).

23．（本小题满分10分）
设，，.
（1）求值：
①；
②（）；
（2）化简：.
高三数学试题第17页（共4页）
南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
参考答案与解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．【答案】
【命题立意】本题考查集合交集的运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】A∩B=。
【归纳总结】解决含有不等式的集合的运算或关系问题，往往通过数轴进行数形结合，利用数轴加以直观分析与求解。
2．【答案】-1
【命题立意】本题考查复数的相关概念与四则运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】由于，则z的虚部为-1。
【方法技巧】正确的复数四则运算是解决此类复数概念或几何意义问题的关键，要做到细心准确。
3．【答案】12
【命题立意】本题考查统计中的方差的运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】根据统计中的方差的公式
可得12。
4．【答案】9
【命题立意】本题考查算法的程序框图及其应用，考查数形结合思想，概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】开始时，x=1，y=9，此时不满足条件x>y可得x=5,y=7；接下来有x=5,y=7, 此时不满足条件x>y可得x=9，可得y=5，此时满足条件x>y,结束循环，输出x=9。
【归纳总结】正确分析对应的程序框图中算法的表达内容，并结合等式的运算及条件的识别来确定输出问题．在处理算法问题中，经常会碰到给定输入不同的值，通过程序框图的分析或读图，剖析其结果，达到对应运算的目的，得到对应的输出结果．
5．【答案】
【命题立意】本题考查古典概型，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】从1，2，3，4这四个数中选择两个数，有如下情况：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），两个数中至少有一个偶数的有10种，根据古典概型可得所求的概率为P==。
【规律总结】涉及古典概型的概率问题，要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．注意不要出现遗漏或重复。
6．【答案】
【命题立意】本题考查线性规划，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】作可行域，根据图象可得，过点，对应的值最小即
【规律总结】根据题意作出正确的可行域，理解题意所求的值的含义，是解题的关键。
7．【答案】
【命题立意】本题考查双曲线的定义与几何性质，双曲线的离心率，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】根据双曲线渐近线的公式，可得，，解得，则离心率。
【易错剖析】关键是熟练双曲线的性质及离心率的公式，否则容易出错。
8．【答案】63
【命题立意】本题考查等差数列的性质与前n项和公式，等差中项，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】数列{an}是等差数列，由于a4，a5，a6成等差数列，则有2a5=a4+a6，可得a5=7，。
9.【答案】
【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】根据三角函数的图象与性质知函数的图象向右平移个单位可得，根据题意所得函数为偶函数，即，解得，令，得。
【方法技巧】正确掌握三角函数的图象与性质是解决此类问题的突破口。
10．【答案】4
【命题立意】本题考查圆柱的性质，空间几何体的体积，考查概念的理解与运算能力，空间想象能力，难度较小。
【解题思路】由题可得的斜边过底面圆圆心，设EG,FG为直角边a,b,根据题意可得，，解得，当且仅当，三棱锥A—EFG的的体积为V=×a×b××3≤4。
【方法技巧】正确识别空间几何体的性质是解决相应体积、表面积的关键。
11．【答案】
【命题立意】本题考查平面向量的数量积及其应用，可运用向量的加、减法将已知向量分解，用数量积和解三角形知识求解，也可利用余弦定理和基本不等式求解概念的理解与运算能力，难度中等。
【解题思路】方法一由正弦定理的，过C作CD⊥AB，则有，如图，当点D与点A重合时，CD取最大值,DA´DB取最小值0,

方法二设CA=，CB=，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，∴。

12．【答案】512
【命题立意】本题考查直线方程，等比数列公式，归纳推理，考查运算能力，难度中等。
【解题思路】设直线的方程为：，与直线联立解得，点，根据题意得是等边三角形， ，,直线的方程为与直线联立解得，，根据题意可得点，，以此类推，，则．
13．【答案】
【命题立意】本题考查圆的方程，导数的几何意义，二次函数最值，考查运算能力，难度中等。
【解题思路】设点P的坐标为，函数在点P处的切线方程为：，圆M在点P处的切线方程为：，根据题意切线重合，即，解得，，即，点P是二次函数上的点，又过点O,M，由题意得二次函数，当时，二次函数的最大值为．
14．【答案】
【命题立意】本题考查圆的方程，导数的几何意义，二次函数最值，考查运算能力，难度中等。
【解题思路】由三角形面积公式可得,,
，因为，所以，
，当且仅当时，等号成立，
当时， 取得最大值，的最大值为．
二、 解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，考查逻辑思维能力与空间想象能力，难度中等．
证明：（1）因为,分别是,的中点，所以， ...............2分
又因为在三棱柱中，，所以. ...............4分
又平面，平面，所以∥平面. ...............6分
（2）在直三棱柱中，底面，
又底面，所以. ...............8分
又，，所以， ...............10分
又平面，且，所以平面. ...............12分
又平面，所以平面平面． ...............14分
（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明平面，类似给分）

16．【命题立意】本题旨在考查正弦定理的运用，同角三角函数关系，两角差的正弦公式，考查计算能力，难度较小．
解：（1）由，根据正弦定理，得， …………2分
因为，所以， …………4分
又，所以. …………6分
（2）因为，所以，所以，
又，所以. …………8分
又，即，
所以 ………12分
. …………14分
17．【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查运算能力、演绎论证（分析法证明）能力，难度中等.
解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，
又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， ……………3分
所以，即，所以椭圆的方程为. ……………6分
（2）方法一：设，，，
联立，消去，得，
所以，又，所以，
所以，， ……………10分
则. ……………14分
方法二：设，，， 则，
两式作差，得，
又，，∴，∴，
又，在直线上，∴，∴，①
又在直线上，∴，②
由①②可得，. ……………10分
以下同方法一.
18．【命题立意】本题旨在考查直线与圆相切，考查不等式，考查二次函数求最值，考查实际问题转化成数学问题的能力，考查解决实际问题推理的能力与计算能力等．难度小.
解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为，，所以半圆的圆心为，
A
B
E
D
H
G
C
第18题
←南
·

x
y
半径．设太阳光线所在直线方程为，
即， ...............2分
则由，
解得或（舍）.
故太阳光线所在直线方程为， ...............5分
令，得米米.
所以此时能保证上述采光要求. ...............7分
（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．
方法一：设太阳光线所在直线方程为，
即，由，
解得或（舍）. ...............9分
故太阳光线所在直线方程为，
令，得，由，得. ...............11分
所以
.
当且仅当时取等号.
所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分
方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，
设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－＝－(x－30)，
即． ...............10分
由直线与半圆H相切，得．
而点H(r，h)在直线的下方，则3r＋4h－100＜0，
即，从而． ...............13分
又.
当且仅当时取等号.
所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分
19．【命题立意】本题旨在考查考查解一元二次方程，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），不等式恒成立问题，构造函数，运用函数的思想求解，考查运算和推理能力，难度较大.
解：（1）当时，方程即为，去分母，得
，解得或， ……………2分
故所求方程的根为或. ……………4分
（2）因为，
所以（）， ……………6分
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得.
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为. .……………10分
（3）方法一：当时，，，
所以单调递增，，，
所以存在唯一，使得，即， .……………12分
当时，，当时，，
所以，
记函数，则在上单调递增， .……………14分
所以，即，
由，且为整数，得，
所以存在整数满足题意，且的最小值为. .……………16分
方法二：当时，，所以，
由得，当时，不等式有解， .……………12分
下证：当时，恒成立，即证恒成立.
显然当时，不等式恒成立，
只需证明当时，恒成立.
即证明.令，
所以，由，得， .……………14分
当，；当，；
所以.
所以当时，恒成立.
综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. .……………16分
20．【命题立意】本题旨在考查等差数列、等比数列的性质，考查分离参数解不等式，构造数列运用作差法判断数列的单调性求最值，考查归纳推理能力，计算能力等．难度中等.
（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
，，. ……………3分
方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
∴，，，，，，，…
∴当时，是周期为3的周期数列.
∴. ……………3分
②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴，
∴是以为首项、6为公差的等差数列，
又，

， ……………6分
，，设，则，
又，
当时，，；当时，，，
∴，∴， ……………9分
∴，得. ……………10分
方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，
∴，
易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，
，
， ………………6分
以下同方法一.
（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，
则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，
当时，，即恒成立， ……………12分
①若，则，；
②若，则，则为常数，则，为偶数，，；
经检验，满足条件的的通项公式为或. ……………16分
方法二：设的段长、段比、段差分别为、、，
①若，则，，，，
由，得；由，得，
联立两式，得或，则或，经检验均合题意. …………13分
②若，则，，，
由，得，得，则，经检验适合题意.
综上①②，满足条件的的通项公式为或. ……………16分

附加题答案

21.A、【命题立意】本题旨在考查切割线定理．考查运算求解能力，难度较小．
解：由切割线定理得：
则，解得， …………4分
又因为是半圆的直径，故, …………6分
则在三角形PDB中有. …………10分
B、【命题立意】本题旨在考查矩阵特征值特征向量的关系，考查运算求解能力，难度较小．
解：由题意得， …………4分
则， …………8分
解得，. …………10分
C、【命题立意】本题旨在考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式，考查计算能力．难度较小.
解：直线为参数)化为普通方程为， …………2分
圆的极坐标方程化为直角坐标方程为， …………4分
则圆的圆心到直线l的距离为， …………6分
所以. …………10分
D、【命题立意】本题旨在考查柯西不等式的解法，难度较小
解：由柯西不等式，得，
即， …………5分
又因为，所以，
当且仅当，即时取等号.
综上，. …………10分
22．【命题立意】本题旨在考查互斥事件的概率，离散型随机变量的二项分布与数学期望．考查运算能力，难度中等.
解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为. …………4分
（2）由题意得，. …………6分
所以X的概率分布表为：
X
0
1
2
3
4
5
P

…………8分
所以，X的数学期望为. …………10分
23.【命题立意】本题主要考查推理与证明，简单的计算及其应用，排列与组合，二项式定理，考查学生逻辑推理能力与运算能力，难度较大。
解：（1）①
. ……………2分
②

. ………………4分
（2）方法一：由（1）可知当时
. ……………6分
故

. ……………10分
方法二：当时，由二项式定理，有，
两边同乘以，得，
两边对求导，得，
……………6分
两边再同乘以，得
，
两边再对求导，得
. ……………8分
令，得，
即. …………10分