高考数学轨迹问题.doc

第23讲：轨迹问题
一． 高考要求
能理解轨迹的概念，能根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹方程，在高考中小题大题均会出现，注重数学方法和数学思想的运用，综合性较强．
二． 两点解读
重点：①求轨迹方程的两大类方法：直接法（定义法、直译法）；间接法（坐标转移法、参数法、交轨法）②几何性质转化为方程；③运用向量知识．
难点：①求轨迹方程的“完备性”、“纯粹性”；②数形结合的思想和分类讨论的思想的运用．
三．课前训练
1．分别过作两条互相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程是
2．椭圆与直线 平行的所有弦的中点的轨迹方程为
3．已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ A ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线
4．抛物线上各点与焦点连线中点的轨迹方程是
四．典型例题
例1 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是_____________
解：由向量的坐标运算知 ，则点P的轨迹方程是：
例2 与两圆和都外切的圆的圆心在 （ ）
（A） 一个椭圆上 （B）双曲线的一支上
（C）一条抛物线上 （D）一个圆上
解：将配方得，设所求圆心为，则由题意知，故选B
例3 在圆中，过已知点的弦中点轨迹方程为
解：设弦的中点为，则，所以在以为直径的圆上，故所求轨迹方程为
例4 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则弦的中点的轨迹方程是
解：，设，，，则由，，两式相减得
，又，，即
例5 如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

解：以的中点O为原点，所在的
直线为轴，建立平面直角坐标系，
则
由已知可得：
因为两圆的半径均为1，所以
设，则，即
所以所求轨迹方程为：（或）