数学建模选拔赛题目答案.doc

A 部门调整问题
某大学因建设分校和增加三本招生新建设了2个校区，需对现有各机构和学院进行调整，主要意图是将学校的5个部门A,B,C,D,E中的几个部门由甲区迁到乙区或丙区。经过核算，各部门迁移以后的好处量化为经济效益见下表（单位万元）：

A
B
C
D
E
乙
10
15
10
20
5
丙
10
20
15
15
15

迁移以后，各部门之间人员流动费用将增加，部门间每年的人流量（人次）见下表
部门
B
C
D
E
A
0
1000
1500
0
B

1400
1200
0
C

0
2000
D

700

甲乙丙三个区之间的交通费用（元/每人次）见下表

甲
乙
丙
甲
100
130
90
乙

50
140
丙

50

试确定应将哪几个部门放在哪个区，使得年费用最少？
关键词：新建 校区 部门 经济效益 流动费用 交通费用 年费用
解题所用方法：数学建模

一、 问题背景及问题重述
随着我国教育事业的发展，越来越多的人可以上大学了。学校为了增加生源，必然会扩大招生，扩建校区，因此还会增加专业或调整专业与部门等。由此而带来的部门调整问题就越来越突出。某大学因建设分校和增加三本招生新建设了2个校区，需对现有各机构和学院进行调整，主要意图是将学校的5个部门A,B,C,D,E中的几个部门由甲区迁到乙区或丙区。部
门的调整有收益又有支出，怎么增大收入，减小指出，使收益最大是问题的关键。
某大学因建设分校和增加三本招生新建设了2个校区，需对现有各机构和学院进行调整，主要意图是将学校的5个部门A,B,C,D,E中的几个部门由甲区迁到乙区或丙区。经过核算，各部门迁移以后的好处量化为经济效益见下表1(单位万元)：
表1

A
B
C
D
E
乙
10
15
10
20
5
丙
10
20
15
15
15

迁移以后，各部门之间人员流动费用将增加，部门间每年的人流量（人次）见下表2：
表2

部门
B
C
D
E
A
0
1000
1500
0
B

1400
1200
0
C

0
2000
D

700

甲乙丙三个区之间的交通费用（元/每人次）见下表:3：
表:3

甲
乙
丙
甲
100
130
90
乙

50
140
丙

50

试确定应将哪几个部门放在哪个区，使得年费用最少？

二、问题分析
此问题相当于一个随机分配问题，将5个部门A,B,C,D,E随机分配到甲区、乙区和丙区三个区域，若想求得最大的经济效益、最小的流动费用，进而使得年费用最少。则应在所能列举到的所有方案中进行综合比较，因为每个部门可以选择的区域有三个，但又必须三个校区全部有部门存在，则可以想到的迁移方案总数为35种。所以可以视为是一个目标优化问题， 目标是求得费用最小的同时获得最大效益，这时就应该有两个方程等式去控制，一个是为了求得经济效益最大的方程，另一个则可用各个部门间每年的人流量乘以人员流动费用得出的各部门之间人员流动费用最小的方程表示，最后再将两个方程式的结果进行加权求和。可以将各部门之间的移动带来的经济效益W 1和人流费用W2二者进行合并，最后则为年所用总费用W，公式表示为：W=- W 1+ W2，具体运算步骤如下。
另外甲乙丙三个区之间的交通费用（元/每人次）用图形表示如下，如果类比到产销运输问题则可以用下面的表格表示：
图1甲乙丙三个校区的之间的交通费用

表4 模拟为产销问题的人员流通表
销地
产地
C
D
合计

A
1000
1500
2500
B
　1400
1200
2600
E
　2000　
700
2700
合计
4400
3400
7800

三、模型假设

假设1：交通运输状况一切正常，不会出现意外事故。
假设2：不同同学的人员流动去向相互独立，彼此不会影响。
假设3：对大量数据进行处理时主要信息不丢失。
假设4：题目所给信息真实可靠，能反映实际规律。
假设5：运算结果不会出错。
四、符号约定
表5符号约定
符号
表示意义
Xij
0或者1
i
1、2、3、4、5
j
1、2、3
W 1
经济效益带来的收益
W2
人员流通费用
W
一年的总费用

五、模型的建立与求解

（1）设Xij为大于等于零的整数，i为5个部门A,B,C,D,E，分别为1、2、3、4、5，j为可以选的校区，分别为1、2、3，则Xij就可以总共表示3*5=15种数据符号，移动之后的经济效益W1可以表示为（单位为元）：
W1=10000*(10X12+10X13+15X22+20X23+10X32+15X33+20X42+15X43+5X52+15X53)。
（2）设Xij为大于等于零的整数，i为5个部门A,B,C,D,E，分别为1、2、3、4、5，j为可以选的校区，分别为1、2、3，则Xij就可以总共表示3*5=15种数据符号，X11，X12，X13三个数据中只能有一个为1，而其余两个为0，也就是代表着每个部门只能选择一个校区，这时便有各个部门之间相互人员流通的费用如下等式所示（单位元）：
Xij>=0且为整数；
X11+X12+X13=1；
X21+X22+X23=1；
X31+X32+X33=1；
X41+X42+X43=1；
X51+X52+X53=1；

WAC=1000*(100X11X31+50X12X32+50X13X33+130X11X32+130X12X31+90X11X33+90X13X31+140X12X33+140X13X32）；
WAD=1500*(100X11X31+50X12X32+50X13X33+130X11X32+130X12X31+90X11X33+90X13X31+140X12X33+140X13X32）；
WBC=1400*(100X21X31+50X22X32+50X23X33+130X21X32+130X22X31+90X21X33+90X23X31+140X22X33+140X23X32）；
WBD=1200*(100X21X41+50X22X42+50X23X43+130X21X42+130X22X41+90X21X43+90X23X41+140X22X43+140X23X42）；
WEC=2000*(100X51X31+50X52X32+50X53X33+130X51X32+130X52X31+90X51X33+90X53X31+140X52X33+140X53X32）；
WED=700*(100X51X41+50X52X42+50X53X43+130X51X42+130X52X41+90X51X43+90X53X41+140X52X43+140X53X42）；

最后的总费用W应该是以上六个费用之和，就是：
W2 =WAC +WAD+ WBC+ WBD+ WEC+ WED。
（3）最后的年所用总费用W则为W 1和W2二者之和，W 1前面需要加上负号，则加和公式表示为：
W=- W 1+ W2。
运算结果和过程在此省略，需要用到一些专门的软件。
六、模型的评价与改进
此模型的建立基本上可以说明部门之间的调动关系，并且可以将各部门之间的移动带来的经济效益W 1、人流费用W2、年所用总费用W完全量化表示出来，形成等式和方程，但是本次解题过程存在一个缺点，就是是将A、B、C、D、E五个部门视为可以任意调动的，而没有考虑有的校区不存在一个部门的这样的情况，因而还需要改动和完善。

七、参考文献

八、附录