数学归纳法经典例题详解.doc

例1．用数学归纳法证明：
．
证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
．
当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
综合上述，等式成立.
例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论．
解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．
，
解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．
故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时， a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1
= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]
=(k+1)(k2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说，当n=k+1时，也存在．
综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
例3．证明不等式 (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即．
那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
例4. 。
解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。
（2）假设当时命题成立，即
，
那么当时，
左边

。
上式表明当时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。
例5. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式
成立。
解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。
②假设时，不等式成立，即
，
那么当时，

，
∴时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。
例6. 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。
解析：取，。
令，得，而，
所以取，下面用数学归纳法证明，
，
（1）时，已证结论正确
（2）假设时，

则当时，有

，
因为，
所以，
所以，
即时，结论也成立，
由（1）（2）可知，对一切，
都有，
故a的最大值为25。
*例7．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．
求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
证明：①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．
②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3
=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．
因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．