资源描述
<p>课程测试试题
----------------------以下为教师填写--------------------
I、命题院（部）： 数学与统计学院
II、课程名称： 概率论与数理统计教程
III、测试学期：2012－2013学年度第1学期
IV、测试对象： 数学与统计 学院2010级数学与应用数学专业
V、问卷页数（A4）： 2 页
VI、答卷页数（A4）： 4 页
VII、考试方式： 闭卷 （开卷、闭卷或课程小论文，请填写清楚）
VIII、问卷内容：（请老师在出题时安排紧凑，填空题象征性的留出一点空格，学生将所有的答案做在答题纸上的规定位置，并写清楚大题、小题的题号）
已知：
一、 简答题（共7题，每题10分，共70分。解答过程分步计分，答错或不答计0分。）
1、已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。
解 用表示“母鸡生个蛋”， 表示“母鸡恰有个下一代”，则
2、设随机变量服从poisson分布，且，求。
解。由于得（不合要求）。所以。
3、一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为
利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于
4、设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。
解 设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而
。
5、函数是不是某个随机变数的分布密度？如果的取值范围为
（1）；（2）；（3）。
解：（1）当时，且=1，所以可以是某个随机变量的分布密度；
（2）因为=2，所以不是随机变量的分布密度；
（3）当时，，所以 不是随机变量的分布密度。
6、设随机变数的分布函数为
求常数及密度函数。
解：因为，所以，密度函数为
7、一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。
解：令
因为排版与校对是两个独立的工序，因而
是独立同分布随机变量序列，，令，其中，由中心极限定理有
其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。
二、证明题（共3题，每题10分，共30分。解答过程分步计分，答错或不答计0分。）
8、对于任意的随机事件、、，证明：
证明
9、设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？
证：因为与都是分布函数，当时，，，于是
又
所以，也是分布函数。
取，又令
这时
显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数，所以它也不是连续型的。
10、证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：
证：充分性，令，，则，故是的单调上升函数，因而，于是有
对任意的成立，充分性得证。
必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有
，
由的任意性知，结论为真。
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