微积分答案详解.doc

一、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知,,且,则　　　　　　　　　.
答案：　　王丽君
解：,,.

2、已知为常数,,则　　　　　.
答案：　　孙仁斌

解：.

3、已知,则　　　　　.
答案：　　俞诗秋　

解：

4、函数的拐点数为　　　　　.
答案：　　俞诗秋
解：有3个零点:,
有2个零点:,
,显然符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.

5、　　　 　　.
答案：　　张军好
解：.

二、选择题(每小题3分,共15分)

答案： 1、 2、 3、 4、 5、 　。

1、设为偶函数,为奇函数,且有意义,则是
(A) 偶函数；　　　　(B) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数；　(D) 可能奇函数也可能偶函数.

答案：A　　王丽君

2、是函数的
(A) 跳跃间断点；　　(B) 连续点；
(C) 振荡间断点；　　(D) 可去间断点.
答案：D　　俞诗秋

3、若函数在处不可导，则下列说法正确的是
(A) 在处一定不连续；　　　　
(B) 在处一定不可微；
(C) 在处的左极限与右极限必有一个不存在；　
(D) 在处的左导数与右导数必有一个不存在.

答案：B　　江美英

4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：
(A) ； (B)
(C) ； (D)

答案：D　　俞诗秋

5、若函数存在原函数,下列错误的等式是：
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) .

答案：B　　秋俞诗

三、计算题(每小题6分,共60分)
1、设,求.
答案： 王丽君,俞诗秋
解：令,则
,　　 (3分)
于是
. (6分)

2、计算.
答案： 俞诗秋
解：　　　　　　　　 　 　(3分)
.　　　　　　　 　　　　 (6分)

3、求极限.
答案： 俞诗秋
解：由于，　　 　(3分)
而, ,
所以.　　　　　　　　　 　 (6分)
4、求极限.
答案： 俞诗秋
解：　　 　(4分)
.　　 　(6分)

5、求函数的导数.
答案： 俞诗秋
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
. (6分)

6、求曲线在点处的法线方程.
答案： 江美英,俞诗秋
解： 方程两边对求导得：,
将代入得法线斜率,　 　(3分)
从而法线方程为：, 即： . 　(6分)
7、求曲线的凹凸区间和拐点.
答案：曲线在区间和是凹的,在区间是凸的．
拐点为,． 俞诗秋
解：(1),
(2), ,
(3),得,. ,． (3分)
(4) 列表如下：

+
0
-
0
+

凹
拐点
凸
拐点
凹
(5) 曲线的拐点为、．
(6) 曲线在区间和是凹的,在区间是凸的． (6分)

8、计算．
答案： 俞诗秋
解：　 (3分)
．
． (6分)

9、计算．
答案： 俞诗秋
解： 　　　(3分)
,
．　　　　　　　　　 (6分)

10、设某商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.
答案：,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少.俞诗秋
解：总收益函数为,
令,得,而,
可见, 当时, 总收益达到最大. 　(3分)
此时需求弹性, (5分)
说明,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少. 　(6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)
1、证明方程在区间内有且只有一个实根. 　　孙仁斌,俞诗秋
证明：显然,由于,,
由零点定理知,,即；　　　　　　　(3分)
又因,,知,
所以方程在区间内有且只有一个实根.　　　　　(5分)

2、设在闭区间连续,在开区间可导,且,证明在内必存在一点,使得.　　　　　　　　　　　　　　　俞诗秋
证明: 令,,
显然,,且,
由罗尔定理知：,,所以.

一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设，且当时，，则 。
（）
2、计算广义积分= 。（）
3、设，则 。（）
4、微分方程具有 形式的特解.（）
5、设，则_________。（1）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、的值为 （ A ）
A.3 B.0 C.2 D.不存在
2、和存在是函数在点可微的 （ A ）。
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面和及柱面所围的体积是 （D　）。
　　A. ； B. ；
　　C、； D.
4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，则其通解为 （C ）。
A.； B.；
C.； D.
5、无穷级数(为任意实数) （D）
A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
1、求下列极限：。
解： …（3分）
…（6分）
2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。
解： …（4分）
…（6分）
3、求由所确定的隐函数的偏导数。
解：方程两边对求导得:
,有 …（3分）
方程两边对求导得:
,有 …（6分）
4、求函数的极值。
解：，则
，，
，，
求驻点，解方程组得和. …（2分）
对有，，，
于是，所以是函数的极大值点，且 …（4分）
对有，，，
于是， 不是函数的极值点。 …（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式: .若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.
解：显然本题要求:在条件下,求的最大值.
令, …（3分）
解方程组
…（5分）
得:,
所以,若提供的广告费用为万元,应将万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略. …（6分）
6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；
解：. …（4分）
…（6分）
7、已知连续函数满足，且，求。
解：关系式两端关于求导得：
即 …（2分）
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：

= …（5分）
又，即，故，所以 …（6分）
8、求解微分方程=0 。
解：令，则，于是原方程可化为： …（3分）
即，其通解为 …（5分）
即
故原方程通解为： …（6分）
9、求级数的收敛区间。
解：令,幂级数变形为,. …（3分）
当时,级数为收敛；
当时,级数为发散.
故的收敛区间是, …（5分）
那么的收敛区间为. …（6分）
10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。

解：因为 …（2分）
由比值判别法知收敛()， …（4分）
从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。
证：， …（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为, …（2分）
…（4分）
所以. …（5分）