安徽省合肥市2018届高三三模数学(理科)试题.doc

合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数(为虚数单位)，则=
A.3 B.2 C. D.
2.已知集合，，则
A. B. C. D.
3.已知椭圆()经过点，，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
4.已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是
A.-1，3 B.，3 C.-1，，3 D. ，，3
5.若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为
A.64 B.32 C. D.
7.已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
8.运行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内的条件应该是
A. B. C. D.
9.若正项等比数列满足，则的值是
A. B. C.2 D.
10.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
A.24 B.48 C.96 D.120
11.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为
A. B.40 C. D.
12.已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是
A. B. C.(-2，0) D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.
(13)若实数满足条件，则的最大值为 .
(14)已知，，，当最小时，= .
(15)在中，内角所对的边分别为.若，，且的面积等于，则= .
(16)设等差数列的公差为，前项的和为，若数列也是公差为的等差数列，则 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数图象的对称轴方程；
(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.

(18)(本小题满分12分)

收看
没收看
男生
60
20
女生
20
20
2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

(Ⅰ)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？
(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求.
附：，其中.

(19)(本小题满分12分)
如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长；
(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.

(20)(本小题满分12分)
已知抛物线()的焦点为，以抛物线上一动点为圆心的圆经过点F.若圆的面积最小值为.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)当点的横坐标为1且位于第一象限时，过作抛物线的两条弦，且满足.若直线AB恰好与圆相切，求直线AB的方程.

(21)(本小题满分12分)
已知函数有两个极值点(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求实数的取值范围；
(Ⅱ)求证：.

请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆C的方程为.以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线及圆C的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线与圆交于两点，求的值.

(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(Ⅰ)解不等式；
(Ⅱ)设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.
合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
A
B
A
C
D
C
D
C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
(13)4 (14) (15)3 (16)或

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
(Ⅰ).
令，解得.
∴函数图象的对称轴方程为. …………………………5分
(Ⅱ)易知.
∵，∴，∴，
∴，
即当时，函数的值域为. …………………………12分

(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)因为，
所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分
(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人，
所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分
(ⅱ)由题意可知，的可能取值有0，1，2，3.
，
，
∴的分布列是：

∴. ……………………12分

(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.
又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD.
注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.
而AD=BD=1，∴. ………………………5分
(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB.
又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.
过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
记，则，，
，，，.
令平面BCD的一个法向量为.
由得.令，得.
又∵，∴点E到平面BCD的距离.
∵，∴当时，取得最大值，.………………………12分

(20)(本小题满分12分)
(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心位于抛物线的顶点时，圆的面积最小，
此时圆的半径为，∴，解得. ……………………4分
(Ⅱ)依题意得，点的坐标为(1，2)，圆的半径为2.
由(1，0)知，轴.
由知，弦，所在直线的倾斜角互补，∴.
设()，则直线的方程为，∴，
代入抛物线的方程得，，∴，
∴.
将换成，得，
∴.
设直线的方程为，即.
由直线与圆相切得，，解得.
经检验不符合要求，故舍去.
∴所求直线的方程为. ……………………12分

(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵，∴.
设，则.
令，解得.
∴当时，；当时，.
∴.
当时，，∴函数单调递增，没有极值点；
当时，，且当时，；当时，.
∴当时，有两个零点.
不妨设，则.
∴当函数有两个极值点时，的取值范围为. …………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减.
下面先证，只需证.
∵，得，∴.
设，，
则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴.
∵函数在上也单调递减，∴.
∴要证，只需证，即证.
设函数，则.
设，则，
∴在上单调递增，∴，即.
∴在上单调递增，∴.
∴当时，，则，
∴，∴. ………………………12分

(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
(Ⅰ)由直线的参数方程得，其普通方程为，
∴直线的极坐标方程为.
又∵圆的方程为，
将代入并化简得，
∴圆的极坐标方程为. ……………………5分
(Ⅱ)将直线：，
与圆：联立，得，
整理得，∴.
不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.
于是，. ……………………10分

(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
(Ⅰ)，即.
(1)当时，不等式可化为.
又∵，∴；
(2)当时，不等式可化为.
又∵，∴.
(3)当时，不等式可化为.
又∵，∴.
综上所得，，或，即.
∴原不等式的解集为. …………………5分
(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，
∴，即.
令，则，，
，
原不等式得证. …………………10分
8