微积分期末试卷(考试必做).doc

一、填空题（每小题2分，共16分）
1、 .
2、 .
3、设，则函数在处的全微分为 .
4、D是由所围成区域，则 .
5、当a满足 时，条件收敛.
6、幂级数的收敛域为 .
7、交换积分次序后 .
8、微分方程 的通解为 .
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、下列广义积分收敛的是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
2、设是连续函数，积分区域，则可化为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
3、设, 则（ ）.
（A） （B） （C） （D）
4、极限等于（ ）.
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
5、微分方程的通解是( ).
（A） （B）
（C） （D）
三、计算题(一)（每小题5分，共20分）
1、已知, 求.
2、设是由方程确定的隐函数，求.

3、判断的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.

4、求微分方程 的通解.
四、计算题(二)（每小题7分，共28分）
1、求 .

2、计算 .

3、求幂级数 的收敛域及和函数.

4、求微分方程 的通解.

五、应用题（每小题8分，共16分）
1、设某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元、9万元。若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本为 万元。又已知两种产品的总产量为100件，问两种产品的产量各为多少时，企业利润最大？
2、经过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D.求：（1）D的面积；（2）D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

六、证明题（5分）
设在上可微，且，试证存在，使.

杭州商学院08/09第二学期《微积分(下)》试卷(A)参考答案
一、1、2 2、 3、 4、 5、
6、　 7、 8、
二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、A
三、1、解：1、设，两边从0到2积分,
, 即,所以 .（5分）
2、解：方程两边关于x求偏导，，
（3分）
方程两边关于y求偏导，，（5分）
3、解： 因为 ，而发散，故原级数非绝对收敛 （2分）
原级数为交错级数，且单调下降趋向于零，故原级数条件收敛.（5分）.
4、解法1 分离变量并两边积分,得 （2分）
（4分）
故原方程的通解为 （5分）
解法2 原方程写为,是一阶线性微分方程,其通解为

（5分）
四、1、解：令，

.　（7分）
2、解：交换积分次序，
（7分）
3、解：收敛半径
端点处,, ,收敛；,,发散,收敛域为.（3分）
设,逐项求导得
,
因为,所以 .（7分）
4、解：特征方程 ,特征根为，（2分）
对应齐次方程的通解为 ,（4分）
由于不是特征根，故设原方程的特解为,
代入原方程解得，即.
所以原方程的通解为 （7分）
五、1、解：利润为

约束条件： （2分）
设拉格朗日函数 ，
令 ，解得，
由实际问题，此时利润最大。（8分）
或解：，代入得：
令
2、解：设切点为，则切线方程为 ,
因为切线过原点,,
解得，从而，得切点为. （2分）
(1) 所求面积为

. （5分）
(2) 所求面积为 . （8分）
六、证：设，则，，
在上连续，由积分中值定理，，使
，于是 ，（3分）
在上可导，且，在上对应用罗尔定理，
，使，即.（5分）
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