山东实验中学2013届高三12月份第三次诊断性检测(数学理).doc

山东省实验中学2010级第三次诊断性测试
数学试题（理科）（2012.12）

注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共两卷。其中第Ⅰ卷为第1页至第2页，共60分；第Ⅱ卷为第3页至第6页，共90分；两卷合计150分。考试时间为120分钟。本科考试不允许使用计算器。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、 设，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2、下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.若，则等于（ ）
A.2 B. C. D.-2
4. 函数的零点有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5. 已知两条直线和互相平行，则等于（ ）
A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3
6. 设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题:是任意实数，若，则，则（ ）
A.“或”为真 B.“且”为真 C.假真 D.，均为假命题
7. 已知函数，则的大致图象是（ ）

8. 在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（ ）
A.-2012 B.-2013 C.2012 D.2013
9. 已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（ ）
A.3 B. C. D.2
10. 已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比q是小于1的正有理数。若，且是正整数，则q的值可以是（ ）
A. B.- C. D.-
11. 已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（ ）
A.3 B. C.2 D.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A.（0， B.（） C.（0，） D.（，1）

第Ⅱ卷（非选择题 90分）
题号
二
17
18
19
20
21
22
总分
分数

二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则= .
14. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是 .
15. 若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围 .
16. 当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为 .
三、 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
得分
评卷人

17. （本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关于的不等式.

得分
评卷人

18. （本小题满分12分）在内，分别为角A，B，C所对的边，a,b,c成等差数列，且a=2c。
（1） 求的值；（Ⅱ）若，求b的值。

得分
评卷人

19. （本小题满分12分）设函数.
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。

得分
评卷人

20. （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求成立的正整数的最小值。

得分
评卷人

21. （本小题满分12分）已知长方形ABCD，，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

得分
评卷人

22.（本小题满分14分）已知函数的导数为实数，.
（Ⅰ）若在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数。

实验中学三诊数学（理）参考答案及评分标准 2012.2
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
B
A
A
B
B
D
C
C
D
二、 填空题：13.；14.；15. 16.-12
三、 解答题（本大题共6小题，共74分）
17. 由题意知.
且故二次函数在区间上是增函数.…………………………4分
又因为，……………………………………6分
故由二次函数的单调性知不等式
等价于即 ……………………10分
故即不等的解为：.……………………12分
18. 解：（Ⅰ）因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b， ……………………2分
又，可得， …………………………4分
所以，……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），所以， ……………………8分
因为，
所以，………………………………10分
得. …………………………12分
19. 解（Ⅰ）， （2分）
∴.
由，得.
故函数的单调递减区间是. （6分）
（2） .
当时，原函数的最大值与最小值的和，
. （8分）
（3） 由题意知 （10分）
=1 （12分）
20、 解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为q，
依题意，有，
代入得 …………………………2分
解之得 …………………………4分
又单调递增， ………………………………6分
（Ⅱ），………………………………7分
①
②
①-②得 10分
，
又， …………………………11分
当时，.故使，成立的正整数的最小值为5. …12分
21. 解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是
则 2分
.
∴椭圆的标准方程是. ……………………4分
（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.……5分
设M，N两点的坐标分别为.
联立方程：
消去整理得，
有 ………………7分
若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，…………8分
所以，，
即
所以，
即， ……………………9分
得. ……………………10分
所以直线的方程为，或.………………11分
所在存在过P（0，2）的直线：使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。…………12分
22. 解：（Ⅰ）由已知得，，……………………1分
由得.
，当时，递增；
当时，，递减.
在区间［-1，1］上的最大值为.………………3分
又.
由题意得，即，得为所求。 ………………5分
（Ⅱ）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。
（1） 当切点为P（2，1）时，切线的斜率，
的方程为.………………6分
（2） 当切点P不是切点时，设切点为切线的余率，
的方程为。又点P（2，1）在上，，
，
.切线的方程为.
故所求切线的方程为或.……………………………………8分
（Ⅲ）解：.
.
. ……………………10分
二次函数的判别式为
得：
.令，得，或。
，
时，，函数为单调递增，极值点个数0； ………………12分
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
可知函数有两个极值点. ……………………………………14分