临沂罗庄区20182019学度初二上年末数学试卷含解析解析.doc

临沂罗庄区2018-2019学度初二上年末数学试卷含解析解析

【一】选择题：本大题共12小题，每题只有一个正确选项，每题3分，共36分、
1、以下字母或数字具有轴对称性的是〔〕
A、7 B、Z C、1 D、N
2、以下运算结果正确的选项是〔〕
A、x2+x3=x5 B、x3•x2=x6 C、x5÷x=x5 D、x3•〔3x〕2=9x5
3、假设分式有意义，那么a的取值范围是〔〕
A、a≠2 B、a≠0 C、a≠2且a≠0 D、一切实数
4、假设〔a+b〕2=〔a﹣b〕2+A，那么A为〔〕
A、2ab B、﹣2ab C、4ab D、﹣4ab
5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，那么∠A′DB=〔〕

A、40° B、30° C、20° D、10°
6、以下各式能用平方差公式分解因式的有〔〕
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2、
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，那么点P有〔〕

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、化简〔1﹣〕÷的结果是〔〕
A、〔x+1〕2 B、〔x﹣1〕2 C、 D、
9、如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，那么阴影部分面积等于〔〕

A、2cm2 B、1cm2 C、cm2 D、cm2
10、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，那么x应满足的方程为〔〕
A、 B、=
C、 D、
11、假设3x=15，3y=5，那么3x﹣y等于〔〕
A、5 B、3 C、15 D、10
12、关于x的分式方程+=1的解是非负数，那么m的取值范围是〔〕
A、m＞2 B、m≥2 C、m≥2且m≠3 D、m＞2且m≠3

【二】填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分、
13、如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC请补充一个条件：，使△ABC≌△FED、

14、等腰三角形周长为21cm，假设有一边长为9cm，那么等腰三角形其他两边长为、
15、假设x2﹣mx+4是完全平方式，那么m=、
16、利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形〔如下图〕，从而可得到因式分解的公式、

17、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，那么AC的长是cm、

18、假设〔x﹣y﹣2〕2+|xy+3|=0，那么〔﹣〕÷的值是、
19、数学家发明了一个魔术盒，当任意数对〔a，b〕进入其中时，会得到一个新的数：〔a﹣1〕〔b﹣2〕、现将数对〔m，1〕放入其中，得到数n，再将数对〔n，m〕放入其中后，最后得到的数是、〔结果要化简〕
20、某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同、小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是、

【三】解答题：共60分、
21、〔12分〕〔1〕因式分解：a3﹣2a2+a；
〔2〕因式分解：〔3x+y〕2﹣〔x﹣3y〕2；
〔3〕解方程：=1﹣、
22、〔6分〕在数学课上，教师对同学们说：“你们任意说出一个x的值〔x≠0，1，2〕，我立刻就知道式子的计算结果”、请你说出其中的道理、
23、〔8分〕如图，在所给网络图如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E，CE=1，延长CE、BA交于点F、
〔1〕求证：△ADB≌△AFC；
〔2〕求BD的长度、

25、〔12分〕在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校、公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1、5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天、
〔1〕甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
〔2〕在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元、假设由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0、8万元、现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，那么乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
26、〔12分〕问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°、E，F分别是BC，CD上的点、且∠EAF=60°、探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系、
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G、使DG=BE、连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：
如图2，假设在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°、E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心〔O处〕北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进、1、5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离、

2016-2017学年山东省临沂市罗庄区八年级〔上〕期末数学试卷
参考答案与试题解析

【一】选择题：本大题共12小题，每题只有一个正确选项，每题3分，共36分、
1、以下字母或数字具有轴对称性的是〔〕
A、7 B、Z C、1 D、N
【考点】轴对称图形、
【分析】直接利用轴对称图形的性质进而判断得出答案、
【解答】解：A、7不具有轴对称性，故此选项不符合题意；
B、Z不具有轴对称性，故此选项不符合题意；
C、1具有轴对称性，故此选项符合题意；
D、N不具有轴对称性，故此选项不符合题意、
应选：C、
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键、

2、以下运算结果正确的选项是〔〕
A、x2+x3=x5 B、x3•x2=x6 C、x5÷x=x5 D、x3•〔3x〕2=9x5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘单项式、
【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据单项式乘单项式，可判断D、
【解答】解：A、指数不能相加，故A错误；
B、底数不变指数相加，故B错误；
C、底数不变指数相减，故C错误；
D、x3〔3x〕2=9x5，故D正确；
应选：D、
【点评】此题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减、

3、假设分式有意义，那么a的取值范围是〔〕
A、a≠2 B、a≠0 C、a≠2且a≠0 D、一切实数
【考点】分式有意义的条件、
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，据此即可解不等式求解、
【解答】解：根据题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2、
应选A、
【点评】此题考查了分式有意义的条件，分母不等于0，理解有意义的条件是关键、

4、假设〔a+b〕2=〔a﹣b〕2+A，那么A为〔〕
A、2ab B、﹣2ab C、4ab D、﹣4ab
【考点】完全平方公式、
【分析】把A看作未知数，只需将完全平方式展开，用〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2即可求得A、
【解答】解：∵〔a+b〕2=a2+2ab+b2，〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2，
∴A=〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2=4aB、
应选C、
【点评】此题主要考查了完全平方式：〔a+b〕2=a2+2ab+b2与〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍、

5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，那么∠A′DB=〔〕

A、40° B、30° C、20° D、10°
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质；翻折变换〔折叠问题〕、
【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数、
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，
∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，
由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，
又∵∠CA′D为△A′BD的外角，
∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，
那么∠A′DB=55°﹣35°=20°、
应选：C、
【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解此题的关键、

6、以下各式能用平方差公式分解因式的有〔〕
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2、
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【考点】因式分解-运用公式法、
【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，进而可得答案、
【解答】解：以下各式能用平方差公式分解因式的有；②x2﹣y2；④﹣x2+y2；，共2个，
应选：B、
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握能够运用平方差公式分解因式的多项式特点、

7、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，那么点P有〔〕

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【考点】全等三角形的判定、
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可、
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
应选C
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置、

8、化简〔1﹣〕÷的结果是〔〕
A、〔x+1〕2 B、〔x﹣1〕2 C、 D、
【考点】分式的混合运算、
【分析】先对括号内的式子通分，然后再将除法转化为乘法即可解答此题、
【解答】解：〔1﹣〕÷
=
=
=〔x﹣1〕2，
应选B、
【点评】此题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法、

9、如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，那么阴影部分面积等于〔〕

A、2cm2 B、1cm2 C、cm2 D、cm2
【考点】三角形的面积、
【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答、
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，
∴S△BEF=S△BEC，
同理得，S△EBC=S△ABC，
∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=4，
∴S△BEF=1，
即阴影部分的面积为1、
应选B、

【点评】此题主要考查了三角形面积的等积变换：假设两个三角形的高〔或底〕相等，其中一个三角形的底〔或高〕是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍、

10、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，那么x应满足的方程为〔〕
A、 B、=
C、 D、
【考点】由实际问题抽象出分式方程、
【分析】此题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程、
【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：〔48+x〕件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：、
应选：D、
【点评】这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程、

11、假设3x=15，3y=5，那么3x﹣y等于〔〕
A、5 B、3 C、15 D、10
【考点】同底数幂的除法、
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案、
【解答】解：3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3，
应选：B、
【点评】此题考查了同底数幂的除法，底数不变，指数相减、

12、关于x的分式方程+=1的解是非负数，那么m的取值范围是〔〕
A、m＞2 B、m≥2 C、m≥2且m≠3 D、m＞2且m≠3
【考点】分式方程的解、
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可、
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3、
应选：C
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件、

【二】填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分、
13、如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC请补充一个条件：AC=DF，使△ABC≌△FED、

【考点】全等三角形的判定、
【分析】条件是AC=DF，求出BC=DE，根据SAS推出即可、
【解答】解：条件是AC=DF，
理由是：∵BD=CE，
∴BD﹣CD=CE﹣CD，
∴BC=DE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED〔SAS〕，
故答案为：AC=DF、
【点评】此题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS、此题是一道开放型的题目，答案不唯一、

14、等腰三角形周长为21cm，假设有一边长为9cm，那么等腰三角形其他两边长为6、6或9、3、
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系、
【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，那么应该分两种情况进行分析求解、
【解答】解：①当9cm为腰长时，那么腰长为9cm，底边=21﹣9﹣9=3cm，因为3＜9+9，所以能构成三角形；
②当9cm为底边时，那么腰长=〔21﹣9〕÷2=6cm，因为0＜9＜6+6，所以能构成三角形；
那么等腰三角形其他两边长为6、6或9、3，
故答案为：6、6或9、3、
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验、

15、假设x2﹣mx+4是完全平方式，那么m=±4、
【考点】完全平方式、
【分析】当二次项系数为1时，完全平方式满足：一次项系数一半的平方等于常数项，即〔〕2=4，由此可求m的值、
【解答】解：根据完全平方公式，得
〔〕2=4，
解得m=±4、
【点评】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式、注意积的2倍的符号，避免漏解、

16、利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形〔如下图〕，从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=〔a+b〕2、

【考点】因式分解-运用公式法、
【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解、
【解答】解：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为〔a+b〕2，
所以a2+2ab+b2=〔a+b〕2、
【点评】此题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系、

17、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，那么AC的长是9cm、

【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质、
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC的长、
【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点E，BD=18cm，
∴AD=BD=18cm，
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=30°，
∴AC=AD=9cm、
故答案为：9、
【点评】此题主要考查了垂直平分线的性质和含30°直角三角形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键、

18、假设〔x﹣y﹣2〕2+|xy+3|=0，那么〔﹣〕÷的值是﹣、
【考点】分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方、
【分析】首先括号内的式子利用分式的减法法那么求得，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后利用非负数的性质求得x﹣y和xy的值，代入化简后的式子即可求解、
【解答】解：原式=•y=、
∵〔x﹣y﹣2〕2+|xy+3|=0，
∴x﹣y﹣2=0且xy+3=0，
∴x﹣y=2，xy=﹣3、
∴原式==﹣、
故答案是：﹣、
【点评】此题考查了分式的化简求值以及非负数的性质，理解非负数的性质：即可非负数的和等于0，那么每个数等于0，求得x﹣y和xy的值是关键、

19、数学家发明了一个魔术盒，当任意数对〔a，b〕进入其中时，会得到一个新的数：〔a﹣1〕〔b﹣2〕、现将数对〔m，1〕放入其中，得到数n，再将数对〔n，m〕放入其中后，最后得到的数是﹣m2+2m、〔结果要化简〕
【考点】整式的混合运算、
【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果、
【解答】解：根据题意得：〔m﹣1〕〔1﹣2〕=n，即n=1﹣m，
那么将数对〔n，m〕代入得：〔n﹣1〕〔m﹣2〕=〔1﹣m﹣1〕〔m﹣2〕=﹣m2+2m、
故答案为：﹣m2+2m
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、

20、某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同、小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是、
【考点】由实际问题抽象出分式方程、
【分析】先求得小王每小时分拣的件数，然后根据小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同列方程即可、
【解答】解：小李每小时分拣x个物件，那么小王每小时分拣〔x+8〕个物件、
根据题意得：、
故答案为：、
【点评】此题主要考查的是分式方程的应用，根据找出题目的相等关系是解题的关键、

【三】解答题：共60分、
21、〔12分〕〔2016秋•罗庄区期末〕〔1〕因式分解：a3﹣2a2+a；
〔2〕因式分解：〔3x+y〕2﹣〔x﹣3y〕2；
〔3〕解方程：=1﹣、
【考点】解分式方程；提公因式法与公式法的综合运用、
【分析】〔1〕原式提取a，再利用完全平方公式分解即可；
〔2〕原式利用平方差公式分解即可；
〔3〕分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解、
【解答】解：〔1〕原式=a〔a2﹣2a+1〕=a〔a﹣1〕2；
〔2〕原式=〔3x+y+x﹣3y〕〔3x+y﹣x+3y〕=4〔2x﹣y〕〔x+2y〕；
〔3〕去分母得：2x=x﹣2+1，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解、
【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法以及解分式方程的方法是解此题的关键、

22、在数学课上，教师对同学们说：“你们任意说出一个x的值〔x≠0，1，2〕，我立刻就知道式子的计算结果”、请你说出其中的道理、
【考点】分式的化简求值、
【分析】先根据分式混合运算的法那么把原式进行化简，再根据化简结果即可得出结论、
【解答】解：∵原式=÷，
=×
=x、
∴任意说出一个x的值〔x≠0，1，2〕均可以为此式的计算结果、
【点评】此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法那么是解答此题的关键、

23、如图，在所给网络图〔2016秋•罗庄区期末〕如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E，CE=1，延长CE、BA交于点F、
〔1〕求证：△ADB≌△AFC；
〔2〕求BD的长度、

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形、
【分析】〔1〕欲证明△ADB≌△AFC，只要证明∠ACF=∠2即可、
〔2〕由〔1〕可知BD=CF，只要证明BC=BF，可得EC=EF=1，即可解决问题、
【解答】证明：〔1〕如图，

∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ACF=∠2，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ACF≌△ABD、
〔2〕∵△ACF≌△ABD，
∴BD=CF，
∵BE⊥CF，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
∵∠1+∠BCE=90°，∠2+∠F=90°，
∴∠BCF=∠F，
∴BC=BF，CE=EF=1，
∴BD=CF=2、
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等解决问题，属于中考常考题型、

25、〔12分〕〔2017•邵阳〕在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校、公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1、5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天、
〔1〕甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
〔2〕在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元、假设由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0、8万元、现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，那么乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用、
【分析】〔1〕等量关系为：甲的工效+乙的工效=甲乙合作的工效、
〔2〕等量关系为：甲工程队总费用=施工费用+技术员费用；不等关系式为：乙施工费用+技术员费用≤甲工程队总费用、
【解答】解：〔1〕设乙工程队单独完成建校工程需x天，那么甲工程队单独完成建校工程需1、5x、
依题意得：、
解得：x=120、
经检验：x=120是原方程的解、
∴1、5x=180，
答：甲需180天，乙需120天、
〔2〕甲工程队需总费用为0、8×180+0、01×180=145、8〔万元〕、
设乙工程队施工时平均每天的费用为m万元、
那么：120m+120×0、01≤145、8、〔7分〕
解得：m≤1、205、
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1、205万元、〔8分〕
【点评】此题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键、

26、〔12分〕〔2016秋•罗庄区期末〕问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°、E，F分别是BC，CD上的点、且∠EAF=60°、探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系、
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G、使DG=BE、连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；

探索延伸：
如图2，假设在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°、E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心〔O处〕北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进、1、5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离、
【考点】三角形综合题、
【分析】问题背景：延长FD到点G、使DG=BE、连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
探索延伸：延长FD到点G、使DG=BE、连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与〔2〕同理可证、
【解答】解：问题背景：EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG〔SAS〕，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF〔SAS〕，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为EF=BE+DF、
探索延伸：结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G、使DG=BE、连结AG，如图②，

在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG〔SAS〕，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF〔SAS〕，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：如图3，

连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+〔90°﹣70°〕=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=〔90°﹣30°〕+〔70°+50°〕=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1、5×〔60+80〕=210海里、
答：此时两舰艇之间的距离是210海里、
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，此题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键、

参与本试卷答题和审题的老师有：gbl210；2300680618；zhjh；zcx；蓝月梦