中考数学专题12：数学思想方法之归纳探讨.doc

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【2017年中考攻略】专题12：数学思想方法之归纳探讨
数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题。
归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。
结合2011和2016年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳。
一、根据数的排列或运算规律归纳：
典型例题：
例1. （2016广东肇庆3分）观察下列一组数：，，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：
分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，
∴第k个数分子是2k，分母是2k+1。∴这一组数的第k个数是。
例2. （2016福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是
▲ ．

【答案】900。
【考点】分类归纳（数字变化类）。
【分析】寻找规律：
上面是1，2 ，3，4，…；左下是1，4=22，9=32，16=42，…；
右下是：左下数字减上面数字差的平方：
（1－1）2，（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…
∴a=（36－6）2=900。
例3. （2016湖北恩施4分）观察数表

根据表中数的排列规律，则B+D=　 ▲ 　．
【答案】23。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，
∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。
∴B=8，D=15。
∴B+D=8+15=23。
例4. （2016四川巴中3分）观察下面一列数：1，－2，3，－4，5，－6，……，根据你发现的规律，第
2016个数是 ▲
【答案】－2016。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵1，－2，3，－4，5，－6，…规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第偶数个数
是负数，
∴第2016个数是：－2016。
例5. （2016辽宁丹东3分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形
有 ▲ 个五角星.

【答案】120。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：不难发现，
第1个图形有3=22－1个小五角星；第2个图形有8=32－1个小五角星；第3个图形有15=42－1个小五角星；…第n个图形有（n＋1）2－1个小五角星。
∴第10个图形有112－1=120个小五角星。
例6. （2016贵州遵义4分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，…2n。
分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…2n＋3。
∴第n个数是。
例7. （2016黑龙江大庆3分）已知l=1，l1=121，l11=12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是 ▲ .
【答案】4。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。119281
【分析】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从1开始的连续的自然数再逐渐减小至1，且中间的自然数与底数的1的个数相同，根据此规律写出即可得解：
12=1，112=121，1112=12321，…=123456787654321，所以的第12个数字是4。
例8. （2016湖南益阳10分）观察图形，解答问题：

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：

图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2=﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60

三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2=2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12

积与和的商
﹣2÷2=﹣1，

（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
【答案】解：（1）填表如下：

图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2=﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
（﹣2）×（﹣5）×17=170
三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2=2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
（﹣2）+（﹣5）+17=17
积与和的商
﹣2÷2=﹣1
（﹣60）÷（﹣12）=5
170÷10=17
（2）图④：∵5×（﹣8）×（﹣9）=360，5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1，
∴y=360÷（﹣12）=﹣30。
图⑤：由（1·x·3）÷（1＋x＋3）=﹣3，解得x=﹣2。．
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】（1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值。
例9. （2016浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】

　　A．2010　　B．2016　　C．2014　　D．2016
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：
∵2010÷12＝167…6，2016÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，
∴2016既是三角形数又是正方形数。故选D。
例10. （2016贵州毕节5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 ▲ 个小正方形。

【答案】100。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：
第1个图案中共有1=12个小正方形；第2个图案中共有4=22个小正方形；
第3个图案中共有9=32个小正方形；第4个图案中共有16=42个小正方形；
……
∴第10个图案中共有102=100个小正方形。
练习题：
1. （2016山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+(2n－1)= ▲ .(用n表示，n是正整数)

2. （2011江苏南京2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同
学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为
▲ ．
3. （2011辽宁沈阳4分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表
输入数据
1
2
3
4
5
……
输出数据

a
……
根据表格中的数据的对应关系，可得的值是 ▲
4. （2011辽宁本溪3分）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字 ▲ 。

5. （2011江苏扬州3分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为 ▲ ．
6. （2011山东菏泽3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是
　 ▲ 　．

7. （2011四川广元5分）已知一组数为：1，，，，，…，按此规律用代数式表示第n个数为
▲
8. （2011云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，那么第个数是 ▲ .
9. （2011贵州六盘水4分）有一列数：，，，……，则它的第7个数是 ▲ ;第n个数
是 ▲ 。
10. （2011浙江省3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”【 】
A.28 B.56 C.60 D. 124

二、根据式的排列或运算规律归纳：
典型例题：
例1. （2016江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：,,,
,…,依次类推，则的值为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】分类归纳（数字的变化类）
【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分是奇数和偶数讨论：：
∵， ，
，，
，，
，，
…，
∴当是奇数时，，是偶数时， 。
∴。故选B。
例2. （2016浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…
你规定的新运算a⊕b= ▲ （用a，b的一个代数式表示）．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。
【分析】寻找规律：
∵，
，···
∴。
例3. （2016江苏泰州3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：，，， ▲ ，，…．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律，代数式的系数为1，3，5，7，9，···，是奇数排列；代数式字母的指数为1，2，3，4，5，···，是自然数排列。所以在横线上的代数式是。
例4. （2016湖南株洲3分）一组数据为：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为
　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律：（1）单项式的系数为1，－2，3，－4···，即n为奇数时，系数为正数，n为偶数时，系数为负数，系数的绝对值为，即系数为；
（2）单项式的指数为n。
∴第n个数据应为。
例5. （2016湖南衡阳3分）观察下列等式
①sin30°= cos60°=
②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ▲ ．
【答案】1。
【考点】分类归纳（数字的变化类），互余两角三角函数的关系。
【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案
由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°=；
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°=；
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°=；
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1。　
例6. （2016四川凉山5分）对于正数，规定 ，例如：，，则 ▲ 。
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。
【分析】寻找规律：
当x=1时，f（1）=；
当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）= ，f（2）＋f（）=1；
当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（3）＋f（）=1；
······
当x= n时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（）＋f（）=1。
∴。
∴当x= 2016时，。
例7. （2016四川资阳3分）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是： ▲ ．
【答案】x=n+3或x=n+4。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。
【分析】求得分式方程①②③的解，寻找得规律：
∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，
由②得，方程的根为：x=2或x=3，
由③得，方程的根为：x=3或x=4，
∴方程的根为：x=a或x=b，
∴可化为。
∴此方程的根为：x－3=n或x－3=n+1，即x=n+3或x=n+4。
例8. （2016辽宁沈阳4分）有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ▲ .
【答案】a10－b20。
【考点】分类归纳（数字的变化类），多项式。
【分析】∵第1个多项式为：a1＋b2×1，第2个多项式为：a2－b2×2，第3个多项式为：a3＋b2×3，第4个多项式为：a4－b2×4，…
∴第n个多项式为：an＋（－1）n+1b2n。
∴第10个多项式为：a10－b20。
例9. （2016黑龙江牡丹江3分）观察下列数：，…，按此规律排列，第十个数为
▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律：观察可知，这个代数式的第n个数的符号是，分子是1，分母x的指数是项数加1，所以，这个代数式为，当n=10时，这个代数式为。
例10. （2016贵州六盘水4分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数。
例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；
再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。
请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4= ▲ ．

【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
【考点】分类归纳（数字的变化类），完全平方公式。
【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1。如图：

∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
例11.（2016广东珠海9分）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×　 　=　 　×25；
②　　×396=693×　　．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
例12.（2016广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．
　　　　初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
　　　　请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
　(1)写出奇数a用整数n表示的式子；
　(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
　(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
0
1
2
3
4
5
...
yi
0
1
4
9
16
25
...
yi+1－yi
1
3
5
7
9
11
...

由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...
请回答：
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。
（2）有理数b=（n≠0）。
（3）①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0

1

2

...
yi
0

1

4

...
yi+1－yi

...

故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。
②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0

...
yi
0

...
yi+1－yi

...

故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。
【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。
【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
练习题：
1. （2011黑龙江大庆3分）已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，…．
根据以上等式，猜想：
对于正整数n(n≥4)，1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝ ▲ ．
2. （2011广西贵港2分）若记y＝f(x)＝，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝＝；f()
表示当x＝时y的值，即f()＝＝；…；
则f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2011)＋f()＝_ ▲ ．
3. （2011广东湛江4分）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A73=　▲　（直接写出计算结果），并比较A103　▲　A104（填“＞”或“＜”或“=”）
4. （2011四川雅安3分）在一列数中，，，则 ▲ ．
5. （2011四川成都4分）设,,,…,
设，则S=　 ▲ （用含的代数式表示，其中为正整数）．
6. （2011辽宁营口3分）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律第n个数据是 ▲ _(用含n的式子表示)．
7. （2011云南曲靖3分）将一列整式按某种规律排成x,－2x2,4x3,－8x4,16x5…则排在第六个位置的整式为
▲ ；
8. （2011贵州铜仁4分）．观察一列单项式：，，，，… 根据你发现的规律，第7个单项式为 ▲ ；第个单项式为 ▲ ．
9. （2011福建莆田4分）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，则= ▲ 。
10. （2011湖南益阳8分）观察下列算式：
① 1 ×3 － 22 = 3 － 4 = －1
② 2 × 4 － 32 = 8 －9 = －1
③ 3 × 5 － 42 = 15 －16 = －1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
三、根据图的变化规律归纳：
典型例题：
例1. （2016四川自贡3分）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为【 】

　A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。
【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=。
同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，
同理跳动n次后，即跳到了离原点的处。故选D。
例2. （2016山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】．

A．32 B．126 C．135 D．144
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。
∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。
∴最大数为24，最小数为8。
∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。
例3. （2016广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】

A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。
∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。
又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。
例4. （2016浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是【 】

A． B．C．D．
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。
【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，
第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
由，解得，∴n=14。
当n=14时，40n﹣30=530米处是灯，
则510米、520米、540米处均是树。
∴从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。故选B。
例5. （2016浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】

　 A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。
【分析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=。
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=。
∴当n=14时，AP6=。故选A。
例6. （2016湖北荆门3分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2016个图形中直角三角形的个数有【 】

A． 8048个 B． 4024个 C． 2016个 D． 1066个
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律：
第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2016个图形中直角三角形的个数是2×2016=4024。故选B。
例7. （2016山东烟台3分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是【 】

　　A．3　　B．4　　C．5　　D．6
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为5：

故选C。
例8. （2016山东淄博4分）骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“※”所代表的数是【 】

(A)2 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】 B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。
【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为7，相接触的两个面上的数字的积为6，结合左视图知，几何体下面5个小立方体的左边的数字是1，右边的数字是6；结合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是3，反面的数字是4；根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右下方的小立方体上面的数字只能是2（如图）。
根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右上方的小立方体下面的数字是3；根据任意两对面上所写的两个数字之和为7，几何体右上方的小立方体上面的数字是4。
∴俯视图上“※”所代表的数是4。故选B。
例9. （2016浙江绍兴5分）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 ▲ （用含n的代数式表示）

【答案】或。
【考点】分类归纳（图形的变化类），反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数解析式为，则
①与BC，AB平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6和反比例函数关于对称的性质，得
与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），代入，得，解得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：。
②与OC，AB平移后的对应边相交时，由得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：。
综上所述，第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或。
例10. （2016江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是 ▲

【答案】（16，）。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A′的坐标：
如图，作BC的中垂线交BC于点D，则
∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），
∴BD=1，。∴A（—2，）。
根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n－2，），当n为偶数时为（2n－2， ）。
∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，）。

例11.（2016江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点　 ▲ 　．

【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。
【分析】由正六边形ABCDEF中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。
∴正六边形滚动一周等于6。如图所示。

当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点A．B．C．D．E、F的纵坐标为2。
位置1时，点A的横坐标也为2。
又∵（45－2）÷6=7…1，
∴恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。
∴会过点（45，2）的是点B。
练习题：
1. （2016湖北随州4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为 ▲ .
2. （2016四川达州3分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如
图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ .

3. （2016四川内江6分）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则= ▲

4. （2016四川乐山3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：
（1）∠A1= ▲ 　；（2）∠An= ▲ 　．

5. （2016四川泸州3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…
△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ▲ 。(用含n的式子表示)

6. （2016辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ▲ ．

7. （2016辽宁阜新3分）如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ▲ ．

8. （2016辽宁本溪3分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面
积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到
的菱形产生的，依此类推……，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 ▲ _。
（n≥2，且n是正整数）

9. （2016辽宁锦州3分）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3,…,AnBnBn+1Cn，按如图
所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、An在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、Bn在射线OB上.若∠AOB=45°，
OB1 =1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2，S3，…，Sn,则Sn= ▲ .

10. （2016辽宁铁岭3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、
C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形
AnBnCnDn的面积为 ▲ .

四、根据寻找的循环规律归纳：
典型例题：
例1. （2016四川自贡4分）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，则= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），倒数。
【分析】∵，
∴x2=，x3=，x4=。∴差倒数为3个循环的数。
∵2016=670×3+2，∴x2016=x2=。
例2. （