高中数学选修内容复习讲义(选修11).doc

第1讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题.
其中 的语句叫真命题， 的语句叫假命题.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题 (2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性
[思考探究]　　一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？
提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的 ，q是p的 ；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 .

1.命题真假的判定
对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.
2.四种命题的关系的应用
掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.
[特别警示]　当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.
※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假：
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；

(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；

(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0；

(4)若x2＋y2＝0，则x、y全为0.

1.利用定义判断
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；
(5)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(6)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2.利用集合判断
记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若A⊆B，则p是q的充分条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A ⊈ B，且A ⊉ B，则p是q的既不充分也不必要条件.
[特别警示]　从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.
※ 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1) p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2) p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3) 设l，m均为直线，α为平面，其中l α，m ⊂α，p：l ∥α，q：l ∥m；
(4) 设α∈，β∈，p：α＜β，q：tanα＜tanβ.

1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；
2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；
3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.
※ 求证：关于x的方程x2 ＋ mx ＋ 1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.

若关于x的方程x2 ＋ mx ＋ 1＝0有两个正实根，求m的取值范围？

第2讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.命题p∧q，p∨q，p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
p
真
真

真
假

假
真

假
假

2.全称量词

3.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x ∈M，p(x)

∃x0 ∈M，p(x0)

1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.
2.解决该类问题基本步骤为：
(1)弄清构成它的命题p、q的真假；
(2)弄清它的结构形式；
(3)根据真值表判断构成新命题的真假.
※ 已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x ＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题； ④命题“p∨q”是假命题.
其中正确的是 (　　)
A. ②③　　　 B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立.
2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可.
3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.
※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0有唯一解；
(4)存在实数x，使得。

一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语
等于(＝)
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语

正面词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
一定
否定词语
至少有两个
一个也没有
某个
某些
一定不
[特别警示]　p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
※ 写出下列命题的否定并判断真假.
(1)p：所有末位数字是0的整数都能被5整除；
(2)q：∀x≥0，x2＞0；
(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)t：某些梯形的对角线互相平分.

第3讲 椭圆

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用．

1．对椭圆定义的理解

2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程

图形

性

质
范围

对称性
对称轴： 对称中心：
顶点

轴

焦距

离心率

a,b,c的
关系

[思考探究] 椭圆的离心率与椭圆的形状有什么关系？
提示：离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．

1.利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．
2．求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设椭圆的标准方程．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
[特别警示]　当椭圆焦点位置不明而无法确定标准方程时，可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)．
※ (2009·上海高考)已知F1、F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.

在例1条件下，求使|PF1|＋|PF2|最小时椭圆的方程.

1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆(a＞b＞0)，有－a≤x≤a，
－b≤y≤b，0<e<1等，在求与椭圆有关的 一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．
2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．
3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．
※ (2009·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，
B1，B2为椭圆(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，
直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为
线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有：
1．Δ>0，直线与椭圆有两个公共点P、Q，此时弦长求法：
(1)求P、Q两点的坐标，利用两点间距离公式；
(2)由根与系数关系得到弦长公式 |PQ|＝
2．Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点．
3．Δ<0，直线与椭圆无公共点．
[特别警示]　解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．
※ (2009·辽宁高考)已知椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程； (2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

第4讲 双曲线

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用．

1．双曲线定义的理解

2．双曲线的几何性质
标准
方程

图形

性

质
范围

对称性
对称轴： 对称中心：
顶点

渐近线

离心率
e＝ ，e∈
实
虚
轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.
a、b、c
的关系

[思考探究] 双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？
提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．

1.在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支．
2．求双曲线标准方程的方法
(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．
(2)待定系数法

[特别警示]　在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.
※ 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

若将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，及圆C2：(x－4)2＋y2＝2，一个内切、一个外切．那么动圆圆心的轨迹方程如何？

1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．
(2)求已知渐近线的双曲线的方程．
(3)渐近线的斜率与离心率的关系．
※ (1)(天津高考)设双曲线(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为
(2)(湖南高考)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．

1.直线与双曲线的位置关系
将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程 mx2＋nx＋p＝0，
(1)若m≠0， 当Δ>0时，直线与双曲线有两个交点．
当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
当Δ<0时，直线与双曲线无公共点．
(2)若m＝0，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行．
2．与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，
常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与弦长有关的问题，常常利用根与系数关系，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化．
※ 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于点M(0，m)，求m的取值范围．

第5讲 抛物线

1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程及简单几何性质．
2．理解数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．

1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ，定点F不在定直线l上．
[思考探究] 当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
图 形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
e

l
F
y
x
O

l
F
y
x
O

l
F
y
x
O

l
F
y
x
O

1.抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化．
2．焦半径|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要作用，注意灵活运用．
※ (1)在抛物线y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(1,0)，求M点的坐标及此时的最小值．
(2)已知抛物线y2＝2x和定点A(3，)，抛物线上有动
点P，P到定点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离
为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标．

由(1)的条件，求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．

1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p值．
2．对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．
[特别警示]　抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的
※ (1)(2010·合肥二检)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是 (　　)
A．y2＝12x B．y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x
(2)(2008·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．

1.直线与抛物线的位置关系
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程 my2＋ny＋q＝0，
(1)若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．
2．焦点弦问题
已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 (1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
※ 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．
(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；
(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．

第6讲 变化率与导数、导数的计算

1.了解导数概念的实际背景.
2.理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数.
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

1.导数的概念
(1)函数的平均变化率
函数f(x)从x1到x2的平均变化率为 ，
若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 .
(2)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 ，即f′(x0)＝
(3)导函数
当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的 ，过点P的切线方程为
3.基本初等函数的导数公式
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
（5）、 （6）、
（7）、 （8）、
（9）、 （10）、
4.导数运算法则
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
（5）、 （6）、

根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：
1.求函数的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2.求平均变化率；
3.得导数f′(x0)＝.
上述过程可简化为：一差、二比、三极限.
※ 利用导数的定义求函数y＝的导数.

若将“y＝”改为“y＝”呢？

1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：
(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征；
(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；
(3)整理得结果.
2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便.
※ 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；

(2)y＝3xex－2x＋e；

(3)y＝；

1.函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y ＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0).
[特别警示]　求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
※ 已知曲线y＝.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.

第7讲 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数求导一般不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数求导一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数求导一般不超过三次).
3.会利用导数解决某些实际问题.

1.函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增.
如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
如果 ，那么f(x)在这个区间内为常数.
[思考探究1]　　f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？
提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.
2.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的 ，f(a)叫做函数y＝f(x)的 .
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x) 的 ，f(b)叫做函数y＝f(x)的 .
极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 .
3.函数的最大值与最小值
在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数y＝f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[思考探究2]　　极值点一定是最值点这句话对吗？
提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点.

1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实根.
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
2.证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x).
(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号.
(3)作出结论：f′(x)＞0时f(x)为增函数；f′(x)＜0时f(x)为减函数.
3.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.
※ (2009·安徽高考)已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性.

是否存在实数a，使f(x)在(1,2)内为单调递增，若存在，求出a的取值范围？若不存在，说明理由.

运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤：
1.先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
2.求方程f′(x)＝0的根；
3.检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
[特别警示]　可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同。不可导的点也可能是极值点.
※ (2009·天津高考改编)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

在(1)的条件下，求f(x)在x∈[－1,3]上的最值.

在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
※ 某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.

附：每讲高考新动向
第1讲高考新动向
有关充要条件的题目在各省市的高考题中出现的比较多，通过对考试大纲和高考真题的分析研究，可以发现高考考题的常见类型为“直接考查条件和结论之间的充要关系”。另一类题目，考查角度比较独特，如(2008·全国卷Ⅱ)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①　 ；充要条件② 　.
这类题目开放性较强，尽管答案不唯一，但能充分考查考生的综合能力.

第2讲高考新动向
全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题在考中多以选择题的形式考查，并以考查其命题的否定或命题的真假为传统考法，但是该部分内容往往能够和其他的知识联系起来，在知识的交汇处命题，通过对这两类量词的理解和运用，可以很好地考查学生的能力，这一内容也必将是高考命题的一个新动向.

第3讲高考新动向
椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容．椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容，而直线和椭圆的位置关系则是高考考查的热点.以椭圆为载体，综合考查椭圆和直线方程的性质，点到直线的距离公式，向量的坐标运算等基础知识，将解析几何与平面向量的问题有机结合起来，进一步考查考生综合解题的能力，是一个新的考查方向．

第4讲高考新动向
双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要组成部分，但由于新课程考试说明对双曲线降低了要求，因此预计2011年高考中出现的题目难度会继续降低，题型将以选择、填空为主.将双曲线几何性质与三角函数、不等式融为一体，考查了学生对数学知识的迁移、组合能力以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力．

第5讲高考新动向
抛物线在高考中一般以选择题或填空题的形式考查学生对抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识的掌握情况，而以解答题的形式出现时，常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查学生分析解决综合问题的能力．

第6讲高考新动向
高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或在解答题的某一问中考查导数几何意义的应用，很少直接考查函数求导运算.但直接考查了导数的概念及运算，是一个新的考查方向.

第7讲高考新动向
导数是每年高考的必考内容，利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值以及利用导数解决生活中的优化问题是高考考查的常规内容.将导数及其几何意义与函数的单调性、三角、不等式证明等问题综合考查，很好的考查了考生运用已有知识综合分析问题并解决问题的能力，是高考命题的一个新方向.
高中数学选修内容复习讲义（选修1-1） 编辑：王刚 时间：2011-1-1 第 ２４ 页