洛伦兹力问题及解题策略.pdf

洛伦兹力问题及解题策略洛伦兹力问题及解题策略磁场一章是高中物理的重点内容之一历年高考对本章知识的考查覆盖面大，几乎每个知识点都考查到，纵观历年高考试题不难发现，实际上单独考查磁场知识的题目很少，绝大多数试题的考查方式为磁场中的通电导线或带电的运动粒子在安培力或洛伦兹力作用下的运动，尤其以带电粒子在洛伦兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题居多，侧重于知识应用方面的考查，且难度较大，对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合分析能力要求较高从近十年高考物理对洛伦兹力问题的考查情况可知，近十年高考均涉及了洛伦兹力问题，并且 1994 年、1996 年、1999 年还以压轴题的形式出现，洛伦兹力问题的重要性由此可见一斑；自 1998 年以来，此类问题连续以计算题的形式出现，且分值居高不下，由此可见，洛伦兹力问题是高考命题的热点之一，可谓是高考的一道“大餐”全国高考情况是这样，近年开始实施的春季高考及理科综合能力测试也是这样，甚至对此类问题有“一大一小”的现象，即一个计算题，同时还有一个选择题或填空题，故对洛伦兹力问题必须引起高度的重视本文将对有关洛伦兹力问题的类型做一大致分类，并指出各类问题的求解策略一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及周期一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及周期1.1.圆心的确定圆心的确定：因为洛伦兹力指向圆心，根据 Fv，只要画出粒子运动轨迹上的两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛伦兹力方向，沿两个洛伦兹力方向做其延长线，两延长线的交点即为圆心2.2.半径和周期的计算半径和周期的计算：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹力，将做匀速圆周运动，此时应有 qvB=m，由此可求得粒子运动半径 R=，周期 T=2 m/qB，即粒子的运动周期与粒子的速率大小无关这几个公式在解决洛伦兹力的问题时经常用到，必须熟练掌握在实际问题中，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的知识(如勾股定理等)求解 例例 11长为 L，间距也为 L 的两平行板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图 1 所示，磁感强度为 B，今有质量为 m、带电荷量为 q 的正离子，从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场，欲使离子恰从平行板右端飞出，入射离子的速度应为多少？解析解析应用上述方法易确定圆心 O，则由几何知识有L2+(R-)2=R2又离子射入磁场后，受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，且有 qvB=m由以上二式联立解得v=5qBL/4m 例例 22如图 2 所示，abcd 是一个正方形的盒子，在 cd 边的中点有一小孔 e，盒子中存在着沿 ad 方向的匀强电场，场强大小为 E一粒子源不断地从a 处的小孔沿 ab 方向向盒内发射相同的带电粒子，粒子的初速度为 v0，经电场作用后恰好从 e 处的小孔射出，现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为 B(图中未画出)，粒子仍恰好从 e 孔射出(带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略)(1)判断所加的磁场方向；(2)求分别加电场和磁场时，粒子从 e 孔射出时的速率；(3)求电场强度 E 与磁感应强度 B 的比值解析解析(1)根据粒子在电场中的偏转方向，可知粒子带正电，根据左手定则判断，磁场方向垂直纸面向外(2)设带电粒子的电荷量为 q，质量为 m，盒子的边长为 L，粒子在电场中沿 ad 方向的位移为 L，沿 ab 方向的位移为，在电场中，有 L=，=v0t由动能定理EqL=mv2-mv02由以上各式解得E=，v=v0在电场中粒子从 e 孔射出的速度为v0，在磁场中，由于粒子做匀速圆周运动，所以从 e 孔中射出的速度为 v0(3)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，在磁场中 v=v0，轨道半径为 R，根据牛顿第二定律得qvB=m，解出R=又根据图 3 所示的几何关系，应有(L-R)2+()2=R2解得轨道半径为R=L故得磁场的磁感应强度B=因此=5v0二、带电粒子在磁场中的运动时间二、带电粒子在磁场中的运动时间带电粒子在磁场中做圆周运动，利用圆心角与弦切角的关系，只要设法求出运动轨迹的圆心角大小，由 t=T 或者 t=T 即可求出 例例 33一束电子以速度 v 垂直射入宽为 d 的匀强磁场 B 中，穿出磁场时速度方向发生了 60的偏转，求电子穿出磁场所用的时间解析解析由几何关系，易求得本题电子在磁场中运动时的圆心角为 60，而非 120，则由图 4，得r=而电子在磁场中运动时满足evB=m故可得电子穿出磁场所用时间为t=例例 44如图 5 所示一个质量为 m 电荷量为 q 的粒子从 A 孔以速度 v0垂直AO 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场并恰好从 C 孔垂直于 OC 射入匀强电场中，已知电场方向跟 OC 平行，OCAD，OD=2OC，粒子最后打在 D 点(不计粒子重力)求：(1)粒子从 A 点运动到 D 点所需的时间 t；(2)粒子抵达 D 点的动能 Ek解析解析(1)由题意可知，带电粒子在磁场中运动了 1/4 圆周进入电场，则R=OC=OD/2，这时有 qv0B=m即R=而tB=T/4=进入电场后，做类平抛运动，到达 D 点时，用时tE=故粒子从 A 点运动到 D 点所需的时间t=tB+tE=m(2)带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力与速度方向垂直，因而不做功而在电场中运动时电场力要做功，即在整个运动过程中只有电场力做功，所以可用动能定理求解即有qER=Ek-mv02又在电场中OC=()2=R即E=Bv0/2故粒子抵达 D 点的动能Ek=mv02+qER=mv02三、范围类问题三、范围类问题所谓范围类问题，即问题所示的答案属于某一范围，如粒子运动速度的范围、磁场磁感强度的范围及带电粒子荷质比的范围等在解这类问题时要谨慎考虑限制条件，避免解答的片面性 例例 55如图 6 所示，在铅板 AB 上有一个放射源 S，可向各个方向射出速率 v=2.04107m/s 的 射线CD 为荧光屏(足够大)，AB、CD 间距 d=10cm，其中存在磁感应强度 B=6.010-4T 的匀强磁场，方向垂直纸面向里已知 粒子的荷质比 e/m=1.71011C/kg，试求这时在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度解析解析粒子进入匀强磁场后，满足 qv0B=m，则R=0.2m由于 粒子可向各个方向射出，容易看出向上方射出的 粒子及向右方射出的 粒子打在荧光屏上的位置 P、Q 之间即为亮斑区，这是求解本题之关键由图 7 知 PO=OQ，故在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度为PQ=2PO=2=0.20.35m四、复合场问题四、复合场问题所谓复合场，即重力、电场力、洛伦兹力共存或洛伦兹力与电场力同时存在等当带电粒子所受合外力为零时，所处状态是匀速直线运动或静止状态，当带电粒子所受合力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动，当带电粒子所受合力变化且速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动 例例 66在某空间同时存在着互相正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，如图 8，一带电体 A 带负电，电荷量为 q1，恰能静止于此空间的a 点；另一带电体 B 也带负电，电荷量为 q2，正在过 a 点的竖直平面内做半径为 r 的匀速圆周运动，结果 A、B 在 a 外碰撞并粘合在一起，试分析其后的运动情况 解析解析 设 A、B 的质量分别为 m1、m2，B 的速率为 v，对电荷 Aq1E=m1g对电荷 B q2E=m2g，且 Bq2v=m2二者碰撞时系统动量守恒，有 m2v=(m1+m2)v,且此时总电荷量为 q1+q2，总质量为 m1+m2,显然仍有(q1+q2)E=(m1+m2)g故它们将以速率 v在竖直平面内做匀速圆周运动，并且有(q1+q2)vB=(m1+m2)由以上方程，可得 R=q2r/(q1+q2)，此即碰撞后二者共同的运动半径 例例 77有一电子束穿过具有匀强电场和匀强磁场的空间区域，该区域的电场强度和磁感强度分别为 E 和 B，如图 9 所示(1)如果电子束的速度为 v0，要使电子束穿过上述空间区域不发生偏转，电场和磁场应满足什么条件？(2)如果撤去磁场，电场区域的长度为 l，电场强度的方向和电子束初速度方向垂直，电场区域边缘离屏之间的距离为 d，要使电子束在屏上偏移距离为y，所需加速电压为多大？解析解析(1)要使电子不发生偏转，则应有电场力与洛伦兹力相等，即eE=ev0B，则 E=v0B(2)电子在电场中向上偏转量 s=t2，且 tan=，而在加速电场中，有 eU=mv02，且 l=v0t，又偏移距离 y=s+dtan，解以上方程得 U=五、带电粒子在电磁场中的动态运动问题五、带电粒子在电磁场中的动态运动问题顾名思义，在处理带电粒子或带电物体，在电磁场中的动态问题时，要正确进行物体的运动状况分析，找出物体的速度、位置及其变化，分清运动过程，注意正确分析其受力，此乃求解之关键例 8如图 10 所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，其质量为 m，带电荷量为q，小球可在棒上滑动，将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是 E，磁感强度是 B，小球与棒的动摩擦因数为，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度(设小球带电荷量不变)解析小球的受力情况如图 10 所示，且有N=qE+qvB因而 F合=mg-(qE+qvB)，显然随着 v 的增大，F合减小，其加速度也减小，即小球做加速度减小的变加速度运动，当 a=0 时，速度达最大值，故可解得v=0 时，am=g-a=0 时，即 mg-(qE+qvB)=0 时，vm=六、极值问题六、极值问题求极值是物理学中的一类重要问题，可以通过对物理过程准确分析反映学生分析问题的能力，一般地首先要建立合理的物理模型，再根据物理规律确定极端情况而求极值，此即所谓的物理方法求极值当然根据需要也可以采用其他方法如几何方法、三角方法、代数方法等 例例 99如图 11 所示，真空的狭长的区域内有宽度为 d，磁感强度为 B 的匀强磁场，质量为 m、电荷量为 q 的带负电的粒子，从边界 AB 垂直磁场方向以一定的速率 v 射入磁场，并能从磁场边界 CD 穿出磁场，则粒子入射速度跟边界 AB 成角=_时，粒子在磁场中运动时间最短(不计重力，结果用反三角函数表示)解析解析带电粒子以一定的速率射入磁场时，其运动半径是一定的当粒子在磁场中运动时间最短时，圆周的圆心角应最小，即对应的弧长(或弦长)也最短显然，最短的弦长为磁场宽度 d，由图 12，则有 cos=时，即 R=，又 qvB=m，则有R=，故 cos=因此，粒子入射速度跟边界 AB 成角=arccos时，粒子在磁场中运动时间最短 例例 1010顶角为 2 的光滑圆锥置于方向竖直向下的匀强磁场中，小球质量为 m，带电荷量为 q，磁场的磁感强度为 B，小球沿圆锥面做匀速圆周运动，则：(1)顺着磁场方向看，小球如何运动？(2)小球运动的最小半径是多少？解析解析 小球此时受重力及弹力作用，要使小球能绕圆锥运动，当小球处于图 13 位置时还须受水平方向向右的洛伦兹力，由左手定则可判知小球由图示位置向外运动，即顺着磁场方向看，小球逆时针运动在水平方向有qvB-Ncos=m在竖直方向有Nsin=mg故qvB-mgcot=m即mv2-qvBR+mgRcot=0当该方程有解时，则必有(qBR)2-4m2gRcot0解之得 R4m2g/q2B2tan，因此小球运动的最小半径为R=4m2g/q2B2tan七、洛伦兹力在实际中的应用七、洛伦兹力在实际中的应用电场可以对带电粒子有电场力的作用，而磁场对运动的带电粒子有洛伦兹力作用当电场和磁场共同存在时，对带电粒子也会施加影响，这一知识在现代科学技术中有着广泛的应用1.带电粒子在电场力和洛伦兹力同时作用下的运动主要有三种应用，即速度选择器、磁流体发电机和霍尔效应2.带电粒子在电场力与洛伦兹力递次作用可交替作用下的运动也有三种应用，即电视显像管、质谱仪和回旋加速器 例例 1111质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图 14 所示，离子源 S 产生的一个质量为 m 电荷量为 q 的正离子，离子产生时速度很小，可以看作是静止的，离子产生出来后经过电压 U 加速，进入磁感应强度为 B 的匀强磁场，沿着半圆周运动而达到记录它的照相底片 P上，测得它在 P 上的位置到入口处 S1的距离为 x，则下列说法正确的是()A.若某离子经上述装置后，测得它在 P 上的位置到入口处 S1的距离大于 x，则说明离子的质量一定变大；B.若某离子经上述装置后，测得它在 P 上的位置到入口处 S1的距离大于x，则说明加速电压 U 一定变大C.若某离子经上述装置后，测得它在 P 上的位置到入口处 S的距离大于x，则说明磁感应强度 B 一定变大D.若某离子经上述装置后，测得它在 P 上的位置到入口处 S1的距离大于x，则说明离子所带电荷量 q 可能变小解析解析离子加速时，有 qU=，在匀强磁场中，做圆周运动，有 qvB=m，而 x=2R，由以上方程，得 x2=，可见本题正确选项为 D 例例 1212磁流体发电技术是一种目前世界上正在研究的新兴技术，它可以直接把内能转化为电能，同时具有效率高(可达 45%55%，火力发电效率为 30%)，污染少等优点其原理如图 15 所示，将一束等离子体(高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒)以声速的 0.82.5 倍的速度喷射入磁场中，磁场中有两块金属板 A、B，这时 A、B 上就积聚电荷产生电压，设粒子所带电荷量为 q，进入磁场的喷射速度是 v，磁场的磁感应强度为 B，两块金属板的面积为S，AB 间的距离为 d(1)该磁流体发电机的电动势有多大？(2)设磁流体发电机内阻为 r，当外电阻 R 是多少时输出功率最大？并求最大输出功率(3)为使等离子体以恒定速度 v 通过磁场必须使通道两端保持一定的压强差，压强差为多大？解析解析(1)磁流体发电机的电动势即为 S 断开时，电源两极板间的电势差，在洛伦兹力作用下，等离子体中的正、负电荷分别向上、下板偏转，使两极板间产生电势差，且电势差随着电荷在两极板上的积累而增大，当电荷不偏转时，两极板间电势差达到最大值此时有 qvB=qE=q，则 U=Bdv该磁流体发电机的电动势 E=Bdv.(2)发电机的输出功率P=I2R=()2R=显然，当外电阻 R=r 时输出功率最大，且Pm=(3)当等离子体受到的洛伦兹力与等离子压力差相等时方可以恒定速度通过磁场，即有p=又F=BId，I=解之得p=八、与力学的综合题八、与力学的综合题这类问题是以洛伦兹力为载体，本质上可看作是力学题，故解题中在考虑洛伦兹力的前提下，可以利用解决力学问题的三大方法处理之，即动力学观点，包括牛顿三大定律和运动学规律；动量观点，包括动量定理和动量守恒定律；能量观点，包括动能定理和能量守恒定律在上述方法中，应首选能量观点和动量观点，对多个物体组成的系统，优先考虑两大守恒定律 例例 1313一小球质量为 m，带负电，电荷量为 q，由长 l 的绝缘丝线系住，置于匀强磁场中，丝线的另一端固定在 A 点，提高小球，使丝线拉直与竖直方向成 60角，如图 16 所示调节磁场的磁感强度 B0，释放小球，球能沿圆周运动，到最低点时，丝线的张力为零，且继续摆动，求：(1)摆球至最低点时的速度；(2)B0的值；(3)小球在摆动过程中丝线受的最大拉力解析解析(1)小球在磁场中受到重力、弹力及洛伦兹力作用，但从释放到运动至最低点只有重力做功，由动能定理，则有 mgl(1-cos60)=mv2解之得v=(2)在最低点时，洛伦兹力与重力的合力提供向心力，即有 qvB0-mg=m，由以上二式，解得B0=(3)由于小球运动方向的不同而使洛伦磁力方向改变，不难判断当小球从右边开始运动时，张力较大，且最低处张力最大，此时有T-qvB0-mg=m解之得T=4mg 例例 1414一带电液滴在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中运动，已知 E和 B，若此液滴在垂直磁场的平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，如图 17所示求：(1)液滴速度的大小，绕行方向；(2)液滴运动到轨道最低点 A 分裂为质量、电荷量都相等的两液滴，其中一个液滴仍在原运动平面内做半径 R1=3R 的匀速圆周运动，绕行方向不变，且这个圆周最低点仍为 A，则另一个液滴如何运动？解析解析本题文字叙述较长，但只要理解题意，求解仍是较简单的(1)据题意，应有 qE=mg，由此可判断液滴带负电，且 qvB=m，则v=BqR/m=BgR/E，方向为顺时针方向(2)分裂后，有则v1=3BqR/m=3BgR/E由动量守恒定律，则有mv=故v2=2v-v1=-BgR/E这说明，另一液滴做反方向的圆周运动，且半径不变 例例 1515一个质量 m，带有+q 电荷量的小球，悬挂在长为 L 的细线上，放在匀强磁场中，其最大摆角为，为使摆的周期不受磁场影响，磁感应强度 B应有何限制？解析解析由左手定则易判断：小球向左摆动时，所受洛伦兹力背离悬点，将使悬线张力增加，但不影响摆的周期，而向右摆动时，如 B 足够大，小球可能向悬点移动进而破坏其正常摆动设小球处于图中的位置时摆球速度为 v，当周期不受磁场影响时由机械能守恒定律，有=mgL(cos-cos)据牛顿第二定律，有T+qvB-mgcos=m由以上二式可求得 T=0 时的 B 值，且 B=，可见，T=0 时 B 的取值与小球运动的速度 v 有关 由有关数学方法可以求得当时，B 有最小值，即 v=时，最小值 Bmin=这说明了当 B=Bmin时，其他位置上悬线的张力均大于零，故使摆周期不受影响的磁感应强度应满足条件Bmin 例例 1616如图 19 所示，在某一足够大的真空室中虚线 PH 的右侧是一磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧是一场强为 E，方向水平向左的匀强电场在虚线 PH 上的一点 O 处有质量为 M，电荷量为 Q 的镭核()某时刻原来静止的镭核水平向右放出一个质量为 m，电荷量为 q 的 粒子而衰变为氡核(Rn)，设 粒子与氡核分离后它们之间的作用力可忽略不计，涉及动量问题时，亏损的质量可不计(1)写出镭核衰变为氡核的核反应方程；(2)经过一段时间 粒子刚好垂直到达虚线 PH 上的 A 点，测得 OAL，求此刻氡核的速度解析解析(1)根据核衰变的特点可知，镭核衰变为氡核时满足电荷数守恒和质量数守恒，故有(2)镭核衰变时遵守动量守恒定律，则(M-m)v0=mv 粒子在匀强磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动了 圆周，则到达 A 点需时 t=且有qvB=m，R=L/2而氡核在电场中做匀加速直线运动，t 时刻速度 vt=v0+at，同时满足牛顿第二定律，即(Q-q)E=(M-m)a，联立以上各式解得所求氡核速度为vt=.