资源描述
分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
，形式的，我们有：
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例题精讲
【例 1】 。
【巩固】
【巩固】
【例 2】
公式的变式
当分别取1，2，3，……，100时，就有
求和公式推导：
S1=1+2+3+4+5
+ S1=5+4+3+2+1
【例 3】
【巩固】 计算：
【巩固】
【巩固】 计算：
3×13×12-15+…
【例 4】 计算：
方法一：
=12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18×128
=12×(12-14+…+114-116+116-118)×128
方法二：
=18×1+13+16+110+115+121+128+136×128
=16×(22+26+212+220+230+242+256+272)
=16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9)
=16×2×(1-12+12-13+…+18-19)
【巩固】 _______
【巩固】
一项隔一项来拆项
=1+12×1-13+16+13×12-15+115+14×13-17+128
【巩固】 计算：＝
=12-12-13-…(19-110)
【巩固】 。
=13×(12-15+15-18+…114-117)
【例 5】
【例 6】 计算：
=1+2+…+20+(1-12+12-13+…+120-121)
【巩固】 计算：= 。
【巩固】 计算： ____。
【巩固】 计算：
【巩固】 计算： ．
=1-12+1-16+…+1-19900
=99-(12+16+…+19900)
【例 7】
【巩固】 计算：
【巩固】 计算：
=14×(11×3-13×5+12×4-14×6+…+120×22-122×24)
【巩固】
=1-11×2×3+1-22×3×4+1-33×4×5+…1-9999×100×101
【例 8】
=13×(11×2×3-12×3×4+…+17×8×9-18×9×10)
【例 9】 计算： ．
=2+31×2×3+3+42×3×4+…+9+108×9×10
【例 10】
=1-11×2+31×2×3-11×2×3+41×2×3×4-11×2×3×4+…+71×2×3×4×5×6×7-11×2×3×4×5×6×7
【巩固】 计算： .
【例 11】
=2×12×1-11+2+3×1311+2-11+2+3+…+50×150×(11+2+…+49-11+2+…+50
【巩固】
【例 12】
【巩固】
=35+67+56+3+43×4+4+54×5+5+65×6+6+76×7
【巩固】计算：
=13+34+25+57+78+4+54×5+3+73×7+3+83×8+5+7+75×7
【巩固】
【巩固】
10119=17-717×7 26120=30-430×4 38123=41-341×3 27124=31-431×4
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 8 of 8
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