小学奥数容斥原理(教师版).doc

容斥原理

森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗？
同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B
容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

容斥原理1
【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
　　15+12-4=23
【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？
【解析】100-(62+34-11)=15
【例2】★一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？
【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。
40-（48－37）=29人。
【小试牛刀】 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？

【解析】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
【例3】★★ 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
【解析】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。
【例4】★★五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？
【解析】（24+28-32）÷2=10
【例5】★在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？
【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。
【小试牛刀】40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？
【解析】19人
【例6】★★在1至1000这1000个自然数中，能被5或11整除的自然数一共有多少个？
【解析】如下图，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被5整除的自然数。如果把大圆内的200个自然数和小圆内90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此要想求出：能被5或11整除的自然数的个数就应该：

能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数－既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。
【解析】 能被5整除的自然数有多少个？
1000÷5=200 有200个。
能被11整除的自然数有多少个？
1000÷11=90……10 有90个。
既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个？
1000÷55=18……10 有18个。
所以能被5或11整除的自然数的个数是：200+90－18=272个。
【小试牛刀】 60名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？
【解析】从1到60中，4的倍数一共有：60÷4=15个，6的倍数一共有：60÷6=10个，既是4的倍数又是6的倍数有：60÷12=5个。一次都不转的学生是：60－（15+10－5）=40个，转两次的学生有5个，所以面向老师的学生还有40+5=45个。
【例7】★★★有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？
【解析】240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号，这样一共有：240÷4－1=59个记号；每隔6厘米作一个记号，这样一共有：240÷6－1=39个记号。而两者每隔12厘米重复一个记号，这样一共重复了：240÷12－1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39－19=79，所以绳子一共被剪成了79+1=80段。
容斥原理2
【例8】★★某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明，这个报名表有误。
【解析】按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会的人数为15+13+14-4-6-5+2=29人，与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。
【小试牛刀】　某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。
　　25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
【例9】★★★从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？
【解析】能被3整除的自然数有多少个？
1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个？
1000÷5=200 有200个。
能被7整除的自然数有多少个？
1000÷7=142……6 有142个。
既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个？
1000÷15=66……10 有66个。
既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个？
1000÷21=47……13 有47个。
既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个？
1000÷35=28……20 有28个。
能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个？
1000÷（3×5×7）=9……55 有9个。
能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：
333+200+142－（66+47+28）+9=457个。
所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000－543=457
【小试牛刀】分母是1001的最简分数一共有多少个？
【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
由容斥原理知:在1—1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
【例10】★★如下图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？

【解析】三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于AD×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米）。
阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）－
（三角形AFD面积-四边形DEFG面积）
=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米）。
【小试牛刀】如图所示，、、分别是面积为、、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为．若与、与的公共部分的面积分别为、，、、这三张纸片的公共部分为．求与公共部分的面积是多少？

【解析】设与公共部分的面积为，由包含与排除原理可得：
⑴ 先“包含”：把图形、、的面积相加：，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了次，因此要排除掉．
⑵ 再“排除”：，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．
⑶ 再“包含”：，这就是三张纸片覆盖的面积．
根据上面的分析得：，解得：．
【例11】★★某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？
【解析】设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有X 人，有120-85-90-70+62+46+X-21=5，X=43，所以恰好只订《故事大王》和《儿童漫画》的有43-21=22人。
容斥原理中的最值问题
【例12】★★★在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有盆．
【小试牛刀】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?
【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．
【小试牛刀】例题中恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？
【解析】100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇次，说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆．

1.某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？
【解析】 把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
2.在边长是10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为1厘米的方框，把5个这样的方框放在桌面上（如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面积是多少平方厘米？

【解析】（102-82）×5-12×8=172（平方厘米）
3．张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了100次，有43次没投进，已知张宏和王刚一共投进了32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次？
【解析】三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进100-43=57次。张宏和王刚、王刚和李立共投进的次数为32+46=78次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投进的次数，从中减去共投进的次数，就是王刚投进的次数，列式为78-57=21次，所以王刚投进了21次。
4．育新小学举行各年级学生画展，其中有18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？
【解析】其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18幅，20幅不是五年级的，换句话说，就是一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16张。从而可以求出一至四年级共展出16÷2=8张。
5．五（4）班的同学中有32人喜欢音乐，27人喜欢美术，音乐和美术都喜欢的有11人，请问：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有多少人？
【解析】通过你自己画图，观察图可以看出：32+27－11=48人，就表示五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共的人数。
答：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有48人。
6．某一个班共有学生50人，参加文艺活动的有28人，参加体育活动的有30人，并且全班每人至少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？
【解析】30+28=58人表示全班的总人数50人和公共部分重复统计了一次的总数量，58－50=8人，这里的8个人就是这个班这两项活动都参加的人数。
7．分母是385的最简真分数有多少个？
【解析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240个。
8．一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。请问：两道题都做错的有几个人？
【解析】我们用A圆表示第一题全对的，B圆表示第二题全对的，两圆公共部分表示两题全对的，长方形表示参加考试人数，长方形内两个圆外表示两道题全错的人数。因为第一题对的有25人，两道题全对的有10人，因此第一题对第二题错的有15人。又因为第二题18人做错，18人比15人多3人，因此这三人只能是第一题错，第二题也错，即两道题都错的有3人。

9.在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？
【解析】1到2004中是2的倍数的有1002个，3的倍数的有668个，5的倍数的有[2004/5]=400个， 6的倍数的有334个，10的倍数的有[2004/10]=200个，15的倍数的有[2004/15]=133个，30的倍数的有[2004/30]=66个。所以不是2、3、5的倍数有2004-1002-668-400+334+200+133-66=535个.（“[ ]”表示对[ ]内的数取整.）
10．有50个女孩，她们的皮肤有白的或浅黑色的，眼睛则是蓝色的或褐色的，如果有14个蓝眼睛白肤色，31个是浅黑肤色，18个是褐色眼睛，请问：褐色眼睛浅黑肤色的女孩有多少个？
【解析】建议同学们画一个“统计表”，因为褐色眼睛女孩是18人，所以蓝色眼睛女孩是：50-18=32人。又因为蓝眼睛白肤色女孩是14人，所以蓝眼睛浅黑肤色女孩是32-14=18人。又因为浅黑肤色女孩是31人，所以褐色眼睛浅黑肤色女孩有31-18=13人。
11．一个长方形长厘米，宽厘米，另一个长方形长厘米，宽厘米，它们中间重叠的部分是一个边长厘米的正方形，求这个组合图形的面积．

【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积长方形面积之和重叠部分．于是，组合图形的面积(平方厘米)．
12.学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
【解析】两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是84＋86－25=144人，所以，这两个小组都不参加的人数是250－144=106人。
13.五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
【解析】44
14.有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？
【解析】至少懂一门外语的人数：128－25=103（人）
既懂英语、又懂法语的人数：98+75－103=70（人）
15.甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?

【解析】考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．