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华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测
高二年级数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的
1．直线为参数)的倾斜角为
A． B． C． D．
2．双曲线的焦点到渐近线的距离为
A． B．2 C． D．
3．方程表示的圆
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
4．两圆与的位置关系是
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
5．当时，曲线与曲线有相同的
A．焦点 B．准线 C．焦距 D．离心率
6．若过点的直线与圆有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
7．若双曲线与直线无公共点，则离心率的取值范围是
A． B． C． D．
8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标
为1，则这个椭圆的方程为
A． B． C． D．
9．与圆和圆都相切的圆的圆心轨迹是
A．椭圆 B．椭圆和双曲线的一支
C．双曲线和一条直线（去掉几个点） D．双曲线的一支和一条直线（去掉几个点）
10．过抛物线的焦点F作斜率为1的直线，交抛物线于A、B两点，若，
则等于
A． B． C． D．
11．若所有满足的实数x, y均满足
，则的取值范围为
A． B． C． D．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设
，，以A、B为焦点且过点D的双曲
线的离心率为，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心
率为，则
A．随着角的增大而增大 B．随着角的增大而减小
C．为定值1 D．为定值2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．在极坐标系中，经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则
．
15．直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边AB和y轴平行，则△ABC斜
边上的高的长度为 ．
16．已知椭圆的右焦点为，设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，
AF的中点为M，BF的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的斜率
k满足，则椭圆离心率的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．求与直线相切于点(3, 4)，且在y轴上截得的弦长为的圆的方程．
18．已知在直角坐标系中，曲线为参数，，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求的值．
19．为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出海警“2102”、“海警2307”和“海警2308”海警船编队在钓鱼岛领海巡航。某日，正巡逻在A处的海警“2102”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“海警2307”和“海警2308”正分别位于如图所示的B、C两处，其中在的正东方向相距千米处，在的北偏西30°方向相距千米处。
由于、比距更远，因此，4秒后、才同时发现这一信号（该信号的传播速度
为每秒千米），试确定疑似敌舰相对于A的位置．
20．已知动点P与两定点、连线的斜率之积为
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点的直线l交轨迹C于M、N两点，且轨迹C上存在点E使得四边形OMEN(O为坐标原点)为平行四边形，求直线l的方程．
21．已知M为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线的另一个交点为N．当A为抛物线的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△OMN的面
积为．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）记，若t的值与M点位置无关，
则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，
若没有，请说明理由．
22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为E、F，椭圆上的点P满足，且△PEF的面积为1，抛物线经过点(2, 2)．
（Ⅰ）分别求椭圆与抛物线的方程；
（Ⅱ）已知为轴上一点，倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M，直线QM交抛物线于C、D两点，四边形ACBD的面积记为S，若对任意直线l，都存在点Q，使得，求实数的取值范围．
华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测
高二年级数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的
1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.D 11.A 12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14. 15. 4 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 解：由题意圆心在上，设圆心为，则，解得或11，所以或，所以圆的方程为或 ------------------------------------10分（少一个方程扣2分）
18. 解：（1）曲线的普通方程为：，曲线的普通方程为：。联立解得交点坐标为（0,0）和 -------------------------------------4分
（2）将的方程代入解得，将的方程代入解得，所以 --------------------------------------------------------------------12分
19. 解：以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，则
依题意得
所以在以为焦点的双曲线的右支上
这里，其方程为 -----------4分
又所以又在线段的垂直平分线上 -------------------------8分
由方程组 解得： 即 ，由于，可知在A的北偏东30°方向相距10千米处。 ---------------------------------------------12分
20. 解：（1） -----------------------------------------------------3分
（2）易知直线的斜率不为0,故可设直线设因为四边形OMEN为平行四边形，所以
联立 ，所以
，因为点在椭圆上，所以，解得
故直线的方程为或 ----------------12分
21. 解：（Ⅰ）由题意
，抛物线C的方程为-------------------------------------------3分
（Ⅱ）设,直线MN的方程为
联立得，
,--------------------------------------------------5分
因为时, , 异号,又
---8分
所以,仅当,即时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点” ---------------------------------------12分
22. 解：（1）因为，∴，∴，，∴，又∵，解得，所以椭圆方程为。抛物线方程为。 ---------------------------------------3分
（2）1°若或0显然不合题意；
2°若则，，故只考虑时的情况 ---------4分
3°若，则，将代入消有：
，设，则，易得AB中点M的坐标为M，
，将直线QM：的方程代入抛物线有：
，设则
，设C、D到直线AB的距离分别为，因为C、D在直线AB两侧，所以
，所以等价于，因为对任意的存在使得该式成立，所以只需求不等式左边的最小值。令故只需对任意恒成立，即对任意恒成立，令则，因为，所以
，易得的值域为（0,2），所以 ---------------------12分
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