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中考热点:三种构造辅助圆解题的模型
一、问题导读
“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密 ，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。
二、典例精析
类型1　根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆
1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（　　）
A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k

【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．
【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，

∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，
而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（　　）

A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】如图所示：当PE∥AB．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．
∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．

3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度　　

【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，
∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,
∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,
∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140．

4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝　 　度，∠DBC＝_____度．

【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，
∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，
∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．
故答案为：12.5，37.5．
法二：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，
∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，
∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，
∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，
∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，
∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，
∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．
∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．

类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题
5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．

【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．
【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．

6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．

【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．
【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，
连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，
∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．
【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以AB为直径的圆上．

7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）
（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；
（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．
（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围．
【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；
∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；
又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．
（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．
以CQ为直径作半圆D，
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则
DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；
设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；
在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，
即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；
即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．
②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形
③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．

8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]
解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，
∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，
∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；
(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),
如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),

∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,
由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,
根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),
则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.

类型3　四点共圆模型
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；
(2)动点对定线段所张的角为定值.
9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．
【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．
∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），

10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．
【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．
注意点C有两个．
【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
∴点C坐标为（0，12）；
（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．
综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．
故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．
【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．

11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．

【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．
【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD
∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，
∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，
∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．
（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）
∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，
∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，
∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，
点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，

【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．
三、总结提升
圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。除了我们已知一条线段进行等腰三角形和直角三角形所使用的“两圆一垂”和“两垂一圆”以外，在涉及到一些动点相关的最值问题时，也特别常用，这时候我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时题目中虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来。
上面讲述了常见的可以添加辅助圆的方法，具体归纳如下：
1．利用圆的定义添补辅助圆
到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。
2．作三角形的外接圆
任意不在同一直线上的三点共圆，但是我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。
3．四点共圆
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用，前者在中考中出现频率特别大，我甚至跟我学生说只要出现了内接和四边形等字眼，一定要想着去应用这条性质。而由此拓展出来的一条判定四点共圆的方法在我们解决线段长度和最值相关的问题时，特别好用。
(2)同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题。这也是我们非常常见的一类共圆问题，还可以拓展到利用圆来构造相等的角。