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中考专题训练八函数探究型问题
一、函数探究型问题
例题1.某超市销售一种高档进口米，有会员与非会员两种销售方式，下表分别是两种销售方式，总费用与购买数量之间的机组对应值，设购买数量为（千克），总费用为（元）.
购买数量
…
10
15
25
…
方式一的总费用
…
150
175
225
…
方式二的总费用
…
100
150
250
…

（1） 在平面直角坐标系中，分别画出两种销售方式中与的函数图像；
（2） 若分别按两种销售方式购买，（）千克时，两种方式总费用的差额是一个定值，试探究与之间的关系.

例题2设P（0，）是上一动点，它与原点的距离为.
（1） 求关于的函数解析式，并画出这个函数图像；
（2） 若反比例韩式的图像与函数的图像交于点A，且点A的纵坐标为2.
①求的值；
②结合图像，当时。写出的取值范围.

练习：
1.小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目
收费标准
3公里以内收费
13元
基本单价
2.3元公里

备注：出租车计价段里程精确到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为（单位：公里），相应的实付车费为（单位：元）．
（1）下表是随的变化情况
行驶里程数
0

实付车费
0
13
14
15

（2）在平面直角坐标系中，画出当时随变化的函数图象；
（3）一次运营行驶公里的平均单价记为（单位：元公里），其中．
①当，3.4和3.5时，平均单价依次为，，，则，，的大小关系是　　；（用“”连接）
②若一次运营行驶公里的平均单价不大于行驶任意公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请在上图中轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围．

2.在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图1摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，
角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？
小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．
下面是小林的探究过程，请补充完整：
（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图2，在中，，，是线段上一动点，射线于点，，射线与射线交于点．设，两点间的距离为，，两点间的距离为．
（2）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：

0
1
2
3
4
5
6

6.9
5.3
4.0
3.3

4.5
6
（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当为等边三角形时，的长度约为．

3.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：

0
1
2
3
3.5
4

0

（1）求的值为　 　；
（2）如图，在平面直角坐标中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（3）方程实数根的个数为　 　；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质　 　；
（5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为　 　（精确到．

4.小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中．设小明出发第时的速度为，离家的距离为，与之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（1）小明出发第时离家的距离为　 　；
（2）当时，求与之间的函数表达式；
（3）画出与之间的函数图象．

5.数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长，宽的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式：　　；
（2）确定自变量的取值范围是　　；
（3）列出与的几组对应值．

1

1.3
2.2
2.7

3.0
2.8
2.5

1.5
0.9

（说明：表格中相关数值保留一位小数）
（4）在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为　　时，盒子的体积最大，最大值约为　　．