湖南省普通高中学业水平考试数学试卷.doc

湖南省普通高中学业水平考试试卷
数　学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.球 
2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a Ï{0,1,2}，则a的值为
A.0 B.1
C.2 D.3
3.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为
A. B.
C. D.
4.某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是
A.2 B.3
C.4 D.5
5.在△ABC中，若，则△ABC的形状是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
6.sin120°的值为
A. B.－1 C. D.－
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面但不垂直 D. 异面且垂直
8.不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集为
A.{x|－1≤x≤2} B. {x|－1＜x＜2}
C. {x|x≥2或x≤－1} D. {x|x＞2或x＜－1}
9.点P(m,1)不在不等式x＋y－2＜0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是
A.m＜1 B.m≤1 C.m≥1 D.m＞1
10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11.样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿＿＿。
12.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，sinA＝，则sinB＝＿＿＿＿＿＿。
13.已知a是函数f(x)＝2－log2x的零点，则实数a的值为＿＿＿＿＿＿。
14.已知函数y＝sinwx(w＞0)在一个周期内的图像如图所示，则w的值为＿＿＿＿＿＿。
15.如图1，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小
为＿＿＿＿＿＿。
三、解答题：本大题共5小题，满分40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分6分)已知函数
(1)画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间。

17.(本小题满分8分)
某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动。
(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数； 
(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率。

18.(本小题满分8分)
已知等比数列{an}的公比q＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列。
(1)求a1及an；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前5项和S5。

19.（本小题满分8分）已知向量a＝(1,sinq)，b＝(2,1)。
(1)当q＝时，求向量2a＋b的坐标；
(2)若a∥b，且q∈(0，)，，求sin(q＋)的值。

20.(本小题满分10分)
已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0。
(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，求证：为定值；
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大。

湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，满分40分)
CDBBA　CDACA
二 、填空题(每小题4分，满分20分)
11.6；12.；13.4；14.2；15.45°(或)
三 、解答题(满分40分)
16. 解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示(2分)；
(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2(4分)，
其单调递减区间为[2,4](6分)
17. 解: (1)(人)，(人)，所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人(4分)；
(2)过程略。
18.解：(1)由已知得a2＝2a1，a3＋1＝4a1＋1，a4＝8a1，又2(a3＋1)＝a2＋a4，
所以2(4a1＋1)＝2a1＋8a1，解得a1＝1(2分)，故an＝a1qn-1＝2n-1(4分)；
(2)因为bn＝2n-1＋n，所以S5＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝＝46(8分)
19.解：(1)因为，所以a＝，于是向量2a＋b＝(4分)
(2)因为a∥b，所以(5分)，又因为，所以(6分)，
所以(8分)。
20. 解：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，则圆心C的坐标为(－1，0)(2分)， 圆的半径长为2(4分)；
(2)设直线l的方程为y＝kx，联立方程组
消去y得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，则有：(6分)
所以为定值(7分)。
(3)解法一　设直线m的方程为y＝kx＋b，则圆心C到直线m的距离，
所以(8分)，
≤，
当且仅当，即时，△CDE的面积最大(9分)
从而，解之得b＝3或b＝－1，
故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0(10分)
解法二　由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，
所以≤2，
当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时(8分)
设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离 (9分)
由，得，
由，得b＝3或b＝－1，
故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0(10分)。