上海复旦大学附中20182019学年第二学期高三期末考试数学试卷.doc

上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分.
1.不等式的解集为________
2. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．
3.已知，则________
4.一个等差数列前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数________
5.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________

6.若，则________
7.已知变量满足约束条件，则的最大值为____________．
8.已知点为的外心，且，则 ．
9.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为，且，若，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________
10.在中，点在上，且，则实数的取值范围是__________．
11.已知函数是上的单调增函数，则关于的方程的实根为________
12.已知是满足下列性质的一个排列（，），性质：排列有且只有一个（），则满足性质的所有数列的个数________
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
13.“”是圆锥曲线的焦距与实数无关的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14.直线与双曲线（，）的交点个数最多为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15.若对任意，都有，那么上………………（ ）
A. 一定单调递增 B. 一定没有单调减区间
C. 可能没有单调增区间 D. 一定没有单调增区间
16.在数列{an}中，对任意，都有（k为常数），则称{an}为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
三、解答题（本大题满分76分）
17.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点处.

（1）试写出蚂蚁距离地面的高度（米）关于时刻（分钟）的函数关系式；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？

18.如图，已知圆锥的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.

（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线与所成角大小. （结果用反三角函数值表示）

19.设常数，若函数存在反函数.
（1）求证：，并求出反函数；
（2）若关于不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

20.已知、是双曲线：（，）的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆：于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.
（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；
（2）在（1）的条件下，如果，求△的面积；
（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

21.定义：若数列满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若非负数列满足，（），求证：1是非负数列一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列无上界，证明：存在，当时，恒有.