海淀区2019届高三一模数学试题及答案.doc

海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学 2019.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，. 若，则实数的值可以为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）下列函数中，在区间上不是单调函数的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知等差数列的前项和为. 若，且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）不等式成立的一个充分不必要条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）如图，角以为始边，它的终边与单位圆O相交于点，且
点的横坐标为，则的值为
（A） （B）
（C） （D）
（6）在四边形中，∥， ，. 若，
则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知函数. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设集合是集合的子集，对于，定义 给出下列三个结论：
①存在的两个不同子集，，使得任意都满足且；
②任取的两个不同子集，，对任意都有；
③任取的两个不同子集，，对任意都有.
其中所有正确结论的序号是
（A）①②
（B）②③
（C）①③
（D）①②③

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知向量，，且，则_________.
（10）函数的零点个数为 .
（11）已知数列的前项和，则_____，_______.
（12）如图，网格纸上小正方形的边长为. 从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为 .

（13）已知数列的通项公式为. 若存在，使得对任意的都成立，则的取值范围为______.
（14）已知函数，，其中，，，是这两个函数图象的交点，且不共线.
①当时，△面积的最小值为 ；
②若存在△是等腰直角三角形，则的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）
已知数列为各项均为正数的等比数列，为其前n项和，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求n的最大值.

（16）（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围.

（17）（本小题满分13分）
已知函数. 曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若函数存在极大值，求的取值范围.
（18）（本小题满分13分）
在中，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若点为射线上的一个动点（与点不重合），设.
① 求的取值范围；
② 直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得.
（19）（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）求证：.
（20）（本小题满分14分）
已知集合，且中的元素个数大于等于. 若集合中存在四个不同的元素，，，，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
（Ⅰ）分别判断集合与是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的“关联子集”；
（Ⅱ）已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在 的“关联子集”，使得. 若，求证：是等差数列；
（Ⅲ）若集合是“独立的”，求证：存在，使得.

海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案
数 学 2019.11
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
B
B
A
A
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
题号
9
10
11
12
13
14
答案
6
1
0；1
3

；
说明:第11，14题第一空3分，第二空2分
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15．解：（Ⅰ）在等比数列中，设公比为q.
因为，，
所以
所以. 即
则或
因为
所以
所以.
因为
所以
所以数列的通项公式 .
（Ⅱ）在等比数列中，
因为，
所以
因为，
所以
所以.
所以
因为,
所以. 即n的最大值为4.
16.解：（Ⅰ）因为

.
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）“对恒成立”等价于 “”.
因为，
所以.
当，即时，
的最大值为.
所以，
所以实数的取值范围为.
17．解：（Ⅰ），
因为在点处的切线方程为，
所以
解得
（Ⅱ），
① 当时，不存在极大值，不符合题意.
②当时，.
令.
（i）当，即时，不符合题意.
（ii）当，即时，方程有两个不相等的实数根.
设方程两个根为，，且.
，，的变化如表所示：

0

0

极大值

极小值

所以为极大值.
③当时，恒成立. 设方程两个根为，，且.
，，的变化如表所示：

0

0

极小值

极大值

所以为极大值.
综上，若函数存在极大值，的取值范围为.

18．解：（Ⅰ）在中，，，，
根据余弦定理
所以.
因为，
所以
.
（Ⅱ）①在中，
根据正弦定理，得.
.
因为点为射线上一动点，
所以.
所以的取值范围为.
②答案不唯一.取值在区间上均正确.
19．（Ⅰ）函数在区间上是单调递增函数.
理由如下：
由，得.
因为
所以.
因此.
又因为，
所以恒成立.
所以在区间上是单调递增函数.
（Ⅱ）由题意可得，.
因为
令 则.
所以在上单调递减.
因为，
所以存在唯一实数，使得，其中.

0

极大值

，，的变化如表所示：

所以为函数的极大值.
因为函数在有唯一的极大值.
所以.
因为，
所以.
因为，
所以.
所以.
20.解：（Ⅰ）是“关联的”，关联子集有，，，
是“独立的”.
（Ⅱ）记集合的含有四个元素的集合分别为:
，，，，
.
所以，至多有5个“关联子集”.
若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则;
同理可得若为“关联子集”，则，不是“关联子集”.
所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.
所以一定不是“关联子集”.
同理一定不是“关联子集”.
所以集合的“关联子集”至多为，，.
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾;
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾;
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.
所以，，都是“关联子集”.
所以有，即;
，即;
，即,
所以.
所以是等差数列.
（Ⅲ）不妨设集合（），，，,，且.记.
因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.
假设结论错误，即不存在，使得.
所以任取，.因为，所以.
所以.
所以任取，.
任取，,
所以，且中含有个元素.
（i）若，则必有成立.
因为，所以一定有成立.所以.
所以.
所以.所以.
因为，所以，所以有，矛盾.
（ii）若，则.
而中含有个元素,所以.
所以，.
因为，所以.
因为，所以.
所以.
所以，矛盾.
所以命题成立.

高三年级（数学）第12页（共4页）