几种传染病模型的建立与研究.pdf

东北大学硕士学位摘要几种传染病模型的建立与研究摘要本文以微分方程为工具，对现有基本的传染病模型进行了改进，着重研究了流动人 口及预防接种对疫情控制的影响。利用微分方程的稳定性理论对各系统无病平衡点和地 方病平衡点的存在性及稳定性进行了定性的讨论，利用Maple软件做出了各系统的S-1 相轨线图。以SARS为例，分析了传染病模型对疾病的控制、预防所起的指导性作用。得到了如下的结论：1.流动人口中的染病者对系统影响的SIR模型中，染病者的数量/皿会随着染病者迁 入率增大明显的增加：2.流动人口中的易感者对系统影响的SIR模型中，易感者的流入同样对传染病的控制 起抑制作用，利用微分方程的稳定性理论得到了无病平衡点和地方病平衡点，并对 平衡点的稳定性进行了分析（定理3.2）；3.按比例接种的SIR传染病模型中，/皿为p（接种率）的减函数，求出了各模型的再生 数，并对各模型平衡点的稳定性进行了分析（见定理3.4,定理35）；4.以北京市的SARS传播数据为依据，从经典的SI传染病模型入手，预测了疾病的高 峰期，首例病人发病日期；利用Matlab软件，分析了控制前的SIR模型，以此预测 了政府不加控制的最高发病人数；通过机理分析,控制后的模型充分考虑了对SARS 流行有较大影响的多个因素，引入了疑似病例及非控带菌者，建立了 5类人的描述 疫情传播的模型，并且较合理地拟合了变量参数，假设了控制参数，得到了各类人 的预测曲线，达到了较好的效果。关键词：传染病模型；微分方程；相轨线；流动人口；稳定性；预防接种；平衡点；再 生数；曲线拟合；预测曲线 II一东北大学硕士学位AbstractResearch of Several kinds of epidemic modelsAbstractIn this paperr utilizing differential equation the basal epidemic models are improved on.Influences about floating population and vaccination in epidemic control are studied.Using stability theory in differential equation the existence and the stability of the equilibrium are discussed.Using software of Maple the phase orbit of every system is devised,laking SARS as an example,we can see epidemic model can play a leading effect on preventing diseases and controlling diseases.Conclusion can be got as follows,1.In SIR epidemic model which the infector of floating population affect the system,we can conclude/mix will increase along with ingoing rate.2.In SIR epidemic model which the susceptible of floating population affect the system,we can conclude the disease control will also be restrained by the inflow of susceptible.Using stability theory in differential equation the existence and the stability of the equilibrium arc discussed.We get the theorem 323.In the SIR epidemic model of proportional vaccination,is descending function about inoculate rate.Reproductive number of every models is obtained,and the stability the existence of the equilibrium are analyzed(theorem 3.4 and theorem 3.5)4.According to the spread data of SARS in Beijing,utilizing classical epidemic model,the morbid fastigium and the date of first patient are doped out SIR epidemic model is meet for the initial epidemic period,and the maximum amount of patients without control is forecasted with Matlab.Through thinking about main factors to the influence,the dubious category and the taking pathogen category are imported so the model of five categories is founded.In the model variate parameters are simulated reasonably and control parameters are hypothesized,and the forecasting curves which arc fit for the situation well are made.Key words:epidemic model;differential equation;phase orbit;floating population;stability;vaccination;equilibrium;reproductive number;curve fitting;forecasting curve-Hl-东北大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论1.1 数学模型的概念数学模型的定义所谓数学模型，就是针对某一实际问题，用数学符号、公式、图 表来刻划这一问题特征及内在规律的数学结构表达式，即数学模型是对所研究对象的数 学模拟明数学模型的分类数学模型的类别有儿种不同的分法：按变量的特征分类，可分为 确定性模型、随机模型、模糊数学模型、灰色模型等；若按模型特征分类，可分为初等 模型、优化模型、逻辑模型等：若按领域来分类，可分为模型引论、决策优化、综合模 型、生态模型、模糊数学模型、灰色模型等。要运用数学理论与方法解决任一实际问题，必先根据有关的条件建立相应的数学模 型，在许多情况下，建立与实际问题完全吻合的数学描述是难以做到的。理想的数学模 型通常有如下的特点：(1)能反映事物的本质关系和主要特征，非本质的联系一般忽略不被考虑；(2)简单、清楚，便于分析、讨论、研究和计算；(3)具有可操作性，可方便结果的检验和模型的进一步修改。因此，要给出一个实际问题的数学模型，首先应对所给实际问题做出一些必要的简 化和假设，使得问题容易用数学关系式加以描述和表达。构建实际问题的数学模型，对 解释事物发生的原因及预测未来发展具有重要的意义。但建立数学模型一般并没有一定 模式。下面给出数学模型的主要步骤，并指出要注意的主要问题，主要是使在构造数学 模型时掌握一些规律和要点。建立数学模型的主要步骤：(1)了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景进行深入细致的了解和观察，明确所解决的问题的目的和要求，收集必要的数据，为建立数学模型做好基础准备 工作。(2)对问题进行简化和假设，这是建模的关键步骤。一般情况下，一个问题涉及的方面 很多，如果把实际现象的各个因素都考虑进去，势必使问题复杂化，造成数学处理 上的困难。因此，要根据建模的目的，舍去一些次要因素，对问题适当的简化，并 东北大学硕士学位论文第一章绪论给出必要的假设，不同的假设会得到不同的模型，如何做出合理的假设，重要在于 考察所作假设是否能反映问题的特征和本质，如果过于简单，即过多忽略一些因素,模型就会与实际问题不相吻合，则应对假设做出修改。(3)建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学工具来刻划描述问题的各 种变量之间的关系，用公式、图形、表格给出数学结构表达式。(4)模型求解。运用有关的数学工具，对建立起来的数学模型进行分析、推理和计算。(5)模型的检验和修改。对模型的结果与实际问题进行比较，验证模型的合理性。如果 差别较大，则要重新对问题的主次因素进行分析，检查是否将不该忽略的因素忽略 了。修改模型时，可考虑使用调整参数，改变变量性质，改变约束条件，变换函数 形式等方法。(6)模型应用。用建立起来的模型分析和解释已有的现象，并对事物未来发展趋势进行 预测或提供决策依据。1.2 传染病模型的研究意义关于传染病传播的数学模型的研究是从Eifko(1889)开始的，作为奠基性的工作是 1927年Kermark和Mekendrick的工作。他们将总人口分为易感者(S),染病者和恢复 者(R)三类，利用动力学的方法建立了 SIR传染病模型，并对其传播规律和流行趋势进行 了研究，对传染病的传播与否提出了阈值理论。近20年来，国际上传染病动力学的研 究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题。这些数学模型大多是 适用于各种传染病的一般规律的研究，也有部分是针对诸如麻疹(measles)、疟疾(malaria)肺结核(tuberculosis)、流感(influenza)、天花(smallpoxs)、淋病(gonorrhea)、艾 滋病(AIDS)等诸多具体疾病。从传染病的传播机理来看，这些模型涉及接触传染、垂直 传染、媒介传染等不同传染方式，以及是否考虑因病死亡、因病或预防接种而获得暂时 免疫或终身免疫、种群生长的动力学规律等因素，从而构成了丰富多彩的传染病动力学 模型。Hethcote对这些工作进行系统的总结1叫人们从许多角度对传染病的机理进行了深入的研究探讨，如从医学、生物学、环境 学和系统工程等学科领域出发，探明了大多数流行病的产生原因、发病机理、疾病发展 过程中的变化对人们的影响。但是，目前的条件下人类还不可能完全消灭传染病，旧的 传染病消灭了，新的传染病又不断出现，象2003年爆发严重危害人们生活的SARS和 当前的禽流感；些过去曾被消灭的传染病在适宜的条件下又死灰复燃，同时一些变异 东北大学硕士学位论文弟一i绪论的传染病病毒也产生了。尽管每种流行病的病理都存在一定的差异，但随着人们对流行 病的病理及其传播规律认识的深入了解和相关知识的积累，就不难发现他们的共性，并 且通过建旅适当的数学模型来研究其传播规律。传染病的数学模型可以用来预测某个国 家或地区在某一时刻可能会出现多少病例、当前的情况和发展趋势。通过分析预测结果 及其相关因素的影响程度，使政府有关部门可以及时有效地对关键性因素进行控制，从 而起到积极的预防作用【支1.3 本文的主要工作首先，本文以微分方程为工具，从最基本的传染病模型出发，分析流动人口及预防 接种对传染病传播的影响，假设迁入率为常数迁出率为常数b,比例接种率为p,建立SIR传染病模型，然后讨论几个参数对疾病传播的影响，利用微分方程的稳定性理 论对各系统无病平衡点和地方病平衡点的存在性及稳定性进行定性的讨论。利用Maple 软件作出各系统的S-1相图，根据图像可以直观的看出各参数对得病人数的影响。其次，以SARS为例，以北京市的SARS传播数据为依据，以传统的微分方程理论 为基础，从经典的SI传染病模型入手，预测疾病的高峰期，首例病人发病日期利用 Matlab软件，分析控制前的SIR模型，以此预测政府不加控制的最高发病人数：通过机 理分析，控制后的模型充分考虑对SARS流行有较大影响的多个因素，引入疑似病例及 非控带菌者，建立5类人的描述疫情传播的模型，并且较合理地拟合变量参数，假设控 制参数，得到各类人的预测曲线。这些结论对于传染病的预防以及控制可以起到一定的 借鉴作用。东北大学硕士学位论文第二章 几种基本的传染病模型第二章几种基本的传染病模型2.1 SI模型:不考虑病人治愈的传染病模型2.1.1 模型的建立及求解2.1.1.1 模型假设将传染病流行范围内的人群分为易感者类(Susceptible)和染病者类(Infector),即 S类和1类；(2)该范围内的人口总数为N.S类人群的总数为SQ),/类人群的总数为1(，)，即SO=N,1(0)=/。；(3)单位时间内，一个病人传染的人数与当时健康者人数成正比，设比例系数为4(称 为传染系数)。2.1.1.2 模型的建立与求解根据假设，我们有at“0)0,(2.1)解之得(2.2)由(2.2)知(1)/(。)是单调增加的，N=L/(f)随时间变化的图像如图2.1所示;且lim/(r)=N,即最终所有的人都要被传染，假设总人口令=即一方2-1,解此方程可预测首例发病日期。1+(-,0令即一段 1+(一厂0解此方程可预测首例发病日期。东北大学硕士学位论文第二章几种基本的传染病模型第二章几种基本的传染病模型2A SI模型:不考虑病人治愈的传染病模型2.1.1模型的建立及求解国2.111模型假设(1评传染病流行范围内的人群分为易感者类(Susceptible)和染病者类(Infector),即 S类和1类；(2)该范围内的人口总数为N,S类人群的总数为S(f),/类人群的总数为/(f),即S(，)+I(t)=N,/(0)-70;(3)单位时间内，一个病人传染的人数与当时健康者人数成正比，设比例系数为4(称 为传染系数)。2.1.1.2模型的建立与求解根据假设，我们有at0)乜0,解之得、N1+(-(2.1)(2.2)由(2.2)知(1)/)是单调增加的，且lim/(f)=N,即最终所有的人都要被传染，假设总人口N=l,/(f)随时间变化的图像如图2.1所示;(2)令4)=1,即一灯多=1，解此方程可预测首例发病日期。1+(_以的10东北大学硕士学位论文第二章 几种基本的传染病模型图2.1 SI模型染病者/)随时间变化的关系Fig.2.1 Variation of SJ epidemic modefs infector/(/)with time 由(2.1)和(2.2)知*V2(-di I。一=一I I.dt r N i21+(，o j由(2.3)知2 r-1-2 f Tl-jt2y3(-1+(-,2(1+(-1出】o，o A 1*根据(24)式，我们可以得到如下的结论：(23)(2.4)ln(-l)当时,票3单调增力口;ln(-1)当”曾时,务0,髀调减少;ln(-1)当s$一时,务=0祟取最大值.东北大学硕士学位论文第二章 几种基本的传染病模型2.1.2模型检验ln(-1)(l)r=的时刻为病人增加最快的时刻，即传染病的高峰期，与七成反比，而 kN2为传染病的传染强度系数，它标志着当地的医疗卫生水平，越小，医疗卫生水平越高。这说明改善医疗卫生水平可以推迟传染病高潮的到来；(2)当8时，/(f)-N,最终全为病人。这显然与事实不符，原因是没有考虑病人的治愈，下面我们对此进行改进。2.2 SIS模型：病人可以治愈但无免疫力的传染病模型2.2.1 模型的建立及求解2.2.1.1 模型假设该模型的假设与SI模型的假设相同，但需要增加一条关于治愈的假设，即假设病人每天被治愈的占病人总数的比例为7(日治愈率)，且病愈后又再次进入S类。2.2.1.2 模型的建立与求解这时SI模型修改为包”一一.史必4一力6S)+/(r)=N,解得初值问题-,y h Nk,心).(2.6)由(2.6)得东北大学硕士学位论文笫二章 几种基本的传染病模型lim/(/)=0,kN_yQ,(2.7)由(2.5)得二(小一为/一以2(2.8)由(2.8)得(1)当kNW7时，gvO,1(f)逐渐减少并且最终趋向于零，传染病消失：at当kN时，/(/)的变化与有关，当S0C，即时，日0,I(t)k k k dt单调增加；当S4，即N 时，gr东北大学硕士学位论文第二章 几种基本的传染病模型图2.3 2 时SIS模型/。)随时间变化趋势Fig.2.3 Variation of SIS epidemic modeFs infector I(t)with time when kOJO,S+Z2V内的相轨线，消去,记=得kdi a.方=-1+不(2.11)、峪)二兄解为Z(5)=aln-5+50+/0.(2.12)So232 S-I的相轨线图利用Maple软件，加载DEtools链接库，令人=0.92,丁=0.5,&=0,并设初值为下面的一些值：(S。,/。)|(0.903,0.097),(04 0.6),(0.8,0,2),(0.5435,0.4565),(0.5,05),(0.6,0.4),(0.7,0.3).这些初值在S+/=l直线上，作出S-1的相轨线图，其中横坐标为S轴，纵坐标为/轴。东北大学硕士学位论文第二章几种基本的传染痛模型图2.4 SIR模型的S-1相轨线Fig.2.4 S-I phase orbit of SIR epidemic model由上图和方程组(2.10)可以看出：(1)当时，当o时，染病者人数先增加后减小；当S=b时，染病者人数达到最大值;不论相轨线从何点出发,它终将与S轴相交,即病人最终消失。2.3.3模型检验(1)由定理知，。是一个阈值，当S0b,即无看时，传染病才会蔓延，因此减小 SQk值，即提高当地的医疗卫生水平可以减少疾病蔓延的机会：(2)当，T8时，S)/a),K(f)极限存在。10东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进第三章对基本模型进一步讨论并加以改进随着经济的发展和进一步的改革开放，流动人口的数量在逐年上升，流动人口劳动 力在许多城市占相当比重。由于其身居异地，常受居住条件、经济及个人素质等诸多因 素的制约，给传染病的传播创造了条件，易感者常常成为传染病传播的载体，而染病者 常常成为传染病传播的病原体.因此分析流动人口在传染病流行过程中的影响对传染病 的控制及预防有一定的现实意义。3.1 预备知识引理3.1网设有系统生IA0-阿ax+by+X(x9y acr+dy+y&y),其中X与丫在。(0,0)点邻域内解析，。(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在0点邻域S(0,6)内存在此系统的一个连续的首次积分，则。必为中心点。3.2 改进的SIR模型为了更明显的看出流动人口中易感者及染病者对系统造成的影响，我们对此分开讨 论Q3.2.1 考虑流动人口中的染病者对系统影响的SIR模型3.Z1.1模型假设(1)人口分类及参数定义同SIR模型：(2)考虑人口流动的情形，设染病者的迁入率为，迁出率为b(xb)；(3)因为迁入率与迁出率不相等，总人口将不再是常数。321.2模型建立及求解网根据假设，我们有、-11东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进该方程组等价于下面的方程组:(dS 1cr-ASZ,dt%ksai-bl,dt(3.1)dR rIT、S(O)F，(O)=/o，K(OM，型=-风dt MkSI-yf+al-bl,(3.2)S(O)=S,/(O)=j令a-b=B,贝1JU+T.dS kS 9(33)令由(33)得 k+(34)%当S=o时，/(?)最大，此时1皿=(5o+/o)-o+olnm，所以=一1+E 2+1 皿 In 2(3.5)da 邑*显然，当。5。时，日旦vO,所以/皿为。的减函数。do由此，可以得出下面的定理：定理3.1对模型(3.1),当S0,I。为定值、ovS。时染病者的数量/(f)所达到的最大值。U为。的减函数。12东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进我们可以看出当30时，使得b减小，从而/皿增大，因此要控制传染病的传播必 须控制流入人口的数量。假设Jt=0.92,y=0.5,6=0.2,So=0.903,7。=0.097；然后假设其他它参数不 变，增大迁入率使5=0.4,分别作出S-J的相轨线图，如图3.1所示。其中x轴代表S,y轴代表/。080B y Q402 r 0 08D.8060工 以0 心 0.4 x。6 03 1图3.1 6=0.1（左），6=0.4（右）时的S-/相轨线图Fig.3.1 S-/phase orbits when 3-0,1（left）and 8=0.4（right）由上面两图可以直观的看出：染病者的迁入率增大时，其得病人数明显增加。322考虑流动人口中的易感者对系统影响的SIR模型3.221 模型假设对上面模型假设的Q）改为：易感者的迁入率为迁出率为6（白左方）。3.222 模型的建立更出更力以了.6)lS(O)=So，/(O)=/,K(O)=&,令a-b=j则系统(3.6)等价于下面的方程组 13东北大学硕士学位论文第三至对基本模型的进一步讨论并加以改进-=kSl+tS,dtJ=fcS7一，S(O)=So，I(O)=I.(3.7)3.2.23用微分方程的稳定性理论进行分析系统(3.7)有两个平衡点耳(0,0)和巴(三,)，在4(0,0)处的一次近似矩阵为 k k7 0,0-匚因此，当r0时，其特征根为异号实根，4(0.0)为鞍点，不稳定；当r0时，其特征根为两互异的负实根，4(0,0)渐进稳定，如图3.2。Fig.3.2 S-I phase orbit when T 0时S-/相轨线图Fig,3.3 S-1 phase orbit when r 0当r v0时，系统(3.8)在0(0,0)处的一次近似矩阵有异号实根，。(从而P?)为系统(3.7)15东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进鞍点，不稳定。由此，可以得到如下的定理：定理3.2系统(3.7)有两个平衡点4(0,0)和玛邑：),k k(l)T0时，无病平衡点4(0,0)为鞍点，不稳定：地方病平衡点鸟(彳,。)是系统的中 k k心点，在P2点附近，易感者类与染病者类的数量呈周期变化；(2)0时，无病平衡点4(0,0)渐进稳定；地方病平衡点以邑；)为系统的鞍点，不 k k稳定。3.2.2.4对此系统进行定量的分析易知，(1)当S。时，?0,且曰0,说明S(f)随着/的增加而增加，/也随着f的 k at at增加而增加，此时/gx不存在：(3)当rv时，S随着/的增加而减少，此时在S4时，/(。存在最大值人由(3.7)k得=奴 S-SJ-yln?,(3.11)|当S 时，/最大，此时人满足k,图+卬。一心)=峥/)-小图，(3.12)此时,由mw _ Anax 仍-max 卜 Anax 讥 Um显然，也0,说明人随着的增加而增大，由此可知，流入的易感者同样对 dr传染病的控制起抑制作用。-16一东北大学硕士学位论文第三重 对基本模型的进一步讨论并加以改进3.3按比例接种的SIR传染病模型预防接种是控制传染病传播的一个有效途径，这里研究了具有按比例接种，并且考 虑了迁入人口数为常数的模型【网。331模型I：不考虑出生与死亡331.2模型假设。)由于接种，单位时间内有pS的人离开S进入(2)假设总人口不变，我们不妨把其标准化为1,其他假设同前面的模型。33.1.3模型的建立竺必市竺山13)S+/+R=LS(O)=S。J(0)=%系统(3.13)等价于S(3.14)解之得A(J(O-/o)+pln|-j=-i(S(r)-50)+ylnj4.(3.15)令po0.2,然后增大接种率的值,令p=0.5,分别作出S-1的相图，如图34。-17东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进圈3.4尸=0.2（左），p=0.5（右）时S-1的相轨线Fig.3.4 S-1 phase orbits when p 0 0.2（left）and p=0.5（right）我们可以看出，接种率增大时，染病者的数量明显的减少，接种是预防传染病传播 的一种有效的方式。定理33令。=，若S。，则染病者1。）增加到一定数量后单调下降趋于零，9当S*。时，/（，）达到最大值1皿，人为（接种率）的减函数。证明：显然，若品。，则当r增加而趋于无穷时，染病者的数量/（。增加到一定数量/皿后单调下降趋于零，当S=。时，/（r）为最大，此时-/o）+pln|+卜-H，-So）+yln 看.（3.16）当心九s。,/。为常数时，分析接种率0对/皿的影响：由（3.16）得易知，为P的减函数。说明扩大接种率可以控制染病者的数量，模型结果与事实相符，比例接种是控制疾 病传播的有效途径。18东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进332模型IL考虑出生与死亡33.2.1 模型假设(1)总人口不变，其他的假设同前面的模型；(2)人口的出生率与死亡率均为a,新生儿全为易感者口叫也33.2.2 模型建立卜 一敏一 pS+a(S+/+R)-aS,-kSI-yl-al.dtdR-T n=pS+yl-aR,S+/+RLS(0)=SoJ(0/o，R(0)=&.(3.18)系统(3.18)等价于=-kSI pS+a aS,I(3.19)易知，系统(3.19)有两个平衡点E(S,O)和其中炉称为无病平衡点，E称为 地方病平衡点，其中d a y+a.*a-(y+a)(p+a)p+a k Z(y+a)定义再生数沆。=；一一；，它反映了在全部是易感者的人口中，进入一个染(y+a)(p+a)病者时该患者在其病期间传染的人数。平衡点的稳定性由下面的定理给出:定理3.4当沆。1时，无病平衡点渐进稳定，地方病平衡点不存在：当叫1时，无 病平衡点不稳定,地方病平衡点渐进稳定。证明：(1)对平衡点E,作平移变换 19东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进则系统(3.19)变为-kSi-pS-aS-kSI,.山(3.20)5=kWi-”-ai+kSi,I dt因此在处的一次近似矩阵为.-p _ ex kS0 kS-y-a，显然，其特征根为“0,皿+a，a-(Y+3D p+a因此，(a)当场 vl,4Vo时，无病平衡点渐进稳定，/.=细二”型2 1时，4 0,无病平衡点不稳定,存在地方病平衡点。当九1时,对地方病平衡点,用类似的方法,求得在E处的一次近似矩阵为：_kS，1 kl9 fcS-y-a 其对应的特征方程为储+M+&=0，(3.21)其中/=,勺=%a-(p+a)(y+a),显然可 0,%。，由Hurwitz判据知方程(3.21)y+a所有的根具有负实部，E渐进稳定，证毕。333模型HI：考虑比例接种及流动人口为常数输入的传染病模型3.3.3.1模型的建立及求解【】引把总人口分为三类人，即易感者类S(r)、染病者类1(f)、恢复者(免疫者类)R。)。20-东北大学硕士学位论文 第三章对基本模型的进一步讨论并加以改进假设单位时间内输入流动人口数为4,人口的出生率为a,死亡率为夕，人口的总数N（f）将不再为常数，其他参数的意义同前面的模型。这三类人口的传播关系如下图所示。_Ri PR A 一疝丁 A图3.5三类人群之间的转换关系示意图Fig.3.5 Conversion sketch map of three groups由此关系图我们建立如下的模型”.-敏-pS+a(S+/+R)-”+4(1)dt孚=pS+y/-夕 R,(3)atS(0)=So，/(0)=b&(0)=凡，（3.22）(1)+(2)+(3)得等a-P）N（t）+4(3.23)解之得N(f)=-+Ce(a*(3.24)当a时，！皿N（，）=8（现实中人口数量不可能无限制的增长下去，因此不予考虑）；A当avQ时，HmN（r）上一，则当f-时系统（3.22）可以等价于-8 0-af/fC A%=3_pS+aj0S+A,.(325)dtS(0)=SoJ(0)=/o.此模型总存在无病平衡点E(S,O),其中一 21 一东北大学硕士学位论文第三章 对基本模型的进一步讨论并加以改进s3，再生数4M+p次用kpa_(y)(P+P 乂夕-a)当q1时，存在地方病平衡点(s,r),其中V y+P 7 一(一+一)(一一a)(y+)丁，二 一。)(，+0平衡点的稳定性由下面的定理给出定理3.5当4 Vl时，无病平衡点炉渐进稳定，地方病平衡点R不存在；当,1时，无病平衡点E不稳定，地方病平衡点E渐进稳定。证明：当。0vl时，系统(3.25)在炉处的一次近似矩阵为_p-0 H 0 帖夕，显然其特征值为4=-p-v0,4=越-,-夕1时，在炉处的一次近似矩阵的特征值为A=-p-0vO,右“S-y-p0,因此无病平衡点不稳定，系统(3.25)在E处的一次近似矩阵为M_p_p W kT kS*-丫-B其对应特征方程的特征根均具有负实部，因此在处渐进稳定。-22-东北大学硕士学位论文第四章SARS传染病传播的研究第四章SARS传染病传播的研究传染病的流行，至今仍威胁着人类。然而，人们在研究传染病的蔓延过程时，却遇 到不少困难。这些困难主要是：第一，对传染病的实验极其昂贵(用动物作试验)，而且 从道德角度不允许用人作试验；第二，关于传染病的有关数据只能取自于疾病爆发后的 有关报告，而报告中的数据往往不全面，并且要准确估计有关参数是很困难的，通常人 们仅仅能获得参数的变化范围。因此，数学模型和计算机模拟成为人们研究传染病蔓延 过程的重要手段(并不是探讨医学上的传染机理)。象SARS这种在短时期内爆发并随之消灭的传染病，可以不考虑人口的出生率及死 亡率对疾病传播的影响，人口的总数为常数。4.1用SI模型求解4.L1拟合累计确诊病例令kN-r,代入式N端(4.1)1+(-l)e得I)=k 一，&2)一+(-卜用式(4.2)拟合北京市的累计确诊病例(见本章末表4.1)可得-=0.0004，r=0.2079 r-23-东北大学项士学校论文第四章SAKS传染病传播的研究图4.1北京累计确诊病例拟合曲线Fig.4.1 Curve fitting of Beijing total diagnose cases图4.1离散点为北京市4月20日6月23日累计确诊病例数，连续的曲线为拟合 后的效果图【均.4.1.2推测发病高峰期累计确诊病例最后控制在了 2521人，此模型中N的值应该为2521人，当畔 T)In(-1)-太 C嗯C&96时，孚取最大值，即发病高峰期在4月底，5月初akN 0.2079 dt4.13推测首例发病日期令/(f)=L即解一占一 1得：s-28.72207639,所以首例发病日期大约 r Z在3月底。4.2控制前的SARS传染病模型由SARS这种疾病的特点，控制前满足基本的SIR传染病模型，即24东北大学硕士学位论文第四章SARS传染病传播的研究(43)(4.4)(4.5)二敏-，=S7,矍。“S(f)+/(f)+R(f)=N,S(0)=So，/(0)=%H(0)=K，令。=,运用前面的理论知识可知 k1=(*+/。)-5+。噎InS-lnS0当S=。时，/最大，此时，皿=(o+/o)-44(2002):667-676.21.Michael Y.Li,John R.Graef；Liancheng Wang,Jdnos Karsai.Global dynamics of a SEIR model with varying total population size J.Math Biosci,160(1999):191-213.22.Jianquan Li,Zhien Ma.Qualitative Analyses of SIS Epidemic Model with Vaccination and Varying Total Population Size J.Mathematical and Computer Modelling,35(2002):1235-1243.23.原三领，蒋里强.一类具有非线性饱和传染力的传染病模型J,工程数学学报，2001,18(4):98-102.24.王鑫，郭玉翠,用常微分方程模型分析预防和隔离措施对SARS发病率的影响口,数学的实践与 认识 2004,34(12):10741L一 38一东北大学硕士学位论文致谢致谢本论文是在导师韩铁民副教授的精心指导下完成的，从论文的选题以及研究中遇到 的难题，韩老师都给予了耐心的指导和帮助。两年多来，老师在科研，教学和做人方面 的榜样作用，将使我受益终生，并激励我在以后的工作学习中克服困难，迎接挑战。在 论文完成之际，向韩老师致以最真挚的感谢。感谢同寝室的同学及宋云飞同学在学习以及生活上的帮助和支持。最后，我要感谢我的父母，感谢他们这些年来精神上的鼓励，经济上的援助以及生 活上的关怀和帮助。感谢各位专家对论文评阅提出的宝贵意见。感谢所有给予帮助的人，谢谢你们。-39一